补充解集（第2页）

一般来说，“椭圆曲线”是将x、y设为未知数，用y2=x3+ax2+bx+c（a、b、c为有理数）来表示的曲线，以x组成的多项式右侧，不会出现重根现象。如正文所描述，将费马最终定理变形为y2=x3+（An-Bn）x2-AnBn，这是上述“椭圆曲线”中的一种。因此，“椭圆曲线”是否有整数解的这一问题把“谷山—志村猜想”和费马最终定理联系了起来。

“谷山—志村猜想”，即有理数域上的“椭圆曲线”都可以被模形式化。例如，所谓圆的方程都可以用x2+y2=1来表示，当x=θ时，使θ在实数范围内运动，就能够表达出圆周上的所有的点，被称为“圆在三角函数上被一致化”。“椭圆曲线”和“模形式”也是同样的道理。而且，“谷山—志村猜想”表达的就是对于任何一个“椭圆曲线”都能够成立。

命题和逆否

我们就以“运动全才就擅长游泳”的命题为例吧。这个命题的逆命题是“擅长游泳的人是运动全才”。它的否命题是“不是运动全才就不擅长游泳”。它的逆否命题是“如果不擅长游泳，就不是运动全才。”

根据下图可以很容易地理解：

将运动全才设为P，擅长游泳设为q。

首先，请试着思考一下“运动全才就擅长游泳”这个命题，命题本身是正确的。运动全才肯定擅长游泳吧，但是，擅长游泳的人就一定是运动全才吗？出生于南方的人，即使从小就擅长游泳，但也有从未滑过冰的，所以是不正确的。因此“如果不是运动全才就不擅长游泳”这个命题也是不正确的。其逆否命题“不擅长游泳的人就不是运动全才”是否正确呢？

不擅长游泳的人称作运动全才那是不可能的。因此，上述逆否命题是正确的。

如此一来，不管是什么样的命题，其命题的真假性和其逆否命题的真假性是一致的。这么说来，逆命题未必是真命题的情况也是存在的。

弗雷利用命题和逆否的关系，证明出费马最终定理的真假与“谷山—志村猜想”的真假具有一致性。

归纳法和反证法

归纳法，通常是指根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质，是从特殊到一般的过程。

例如，我们至今听到的猫的叫声是“喵”，所以我们就认为所有猫的叫声都是“喵”。但是，数学界追求其严密性，笼统地概括是不行的，所以，出现了称作“数学归纳法”的严密的证明方法。例如，2n2n-1，n为任意自然数时都成立，以归纳法表示如下：

首先，当n等于1时左侧为2，右侧为1是正确的。接着，假设n为k时也是成立的。

也就是说：

2k2k-1……①

以此为条件，n=k+1时是否成立呢？也就变成这样：

2k+12（k+1）-1……②

P（k）=2k-（2k-1）。此时根据①以P（k）0为条件。

变成P（k+1）-P（k）=2k+1-（2k+1）-{2k-（2k-1）}=2k-2，根据n=k+1（n为自然数）k≥0，所以2k-2≥0。

因此，可得出P（k+1）≥P（k）0，因为以①为条件可以证明②式，所以就能证明关于所有的自然数n都是满足2n2n-1这个公式的。

另一方面，所谓反证法，就是首先假设某命题不成立，然后推出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，即原命题得证。例如，刑侦剧里有这样的场景：“假设那家伙是犯罪嫌疑人，可在犯罪现场，附着的是非被害者的血液。但是，这个血型与犯罪嫌疑人的血型又不一致，也就是说那个人不是犯人吗？”如果这个方法用在数学界时，需要更加谨慎。

例如，“质数是无限个的”这个命题用反证法证明如下：

首先，假设质数是有限的。

这么一来就存在“有最大质数”，将其设为p。

然后，我们把从2开始的所有质数相乘一直乘到p。

就能得到，2×3×5×7×……×p的数字。

将其加上1的数设为q，则q=2×3×5×7×……×p+1。此时q无论被任意质数除，都除不尽（余1），根据这个公式就一目了然了。也就是说，q是质数，因为q明显比p大，所以就会与p是最大的质数这一假设产生矛盾。因此，最初的假设“质数是有限的”这个命题就是错误的，即可以证明质数是无限的。

岩泽理论

“岩泽理论”是由1917年出生的数学家岩泽健吉在1960年提出来的，是为了跨越解析几何方面的“黎曼函数”和代数方面的“整数论”这两个领域之间的间隔，并将它们连结起来的一大猜想。从结果来看，最后被怀尔斯在任意总实数体的情况下证明出来了。费马最终定理与不同领域的“谷山—志村猜想”存在着联系，这一点，说是在费马最终定理之间30年前就被预料到也不为过。之后，被各种各样的对象一般化后，在当代，成为数论的中心课题之一。