补充解集（第1页）
补充解集
（按在本文中出现的顺序所写）
※在本文中，有所进行说明的概念以及词汇在此省略。
圆柱和球的体积
阿基米德的实际算法如下：
首先，思考半径为r的半球，底面半径为r，且高为r的圆锥，然后思考底面半径为r，且高为r的圆柱（如图所示）。
一看我们便知体积最大的是圆柱，体积最小的是圆锥。然后在半球里装满水，将其放入圆柱里，思考要放多少杯水才能装满。然后将体积转换成重量，阿基米德猜想圆柱的重量=圆锥的重量+半球的重量。将这些立方体切成薄片的时候，试着比较一下它们各自的面积。
从左图开始，依次是圆柱、圆锥、半球。在三个物体里水平地切三个等高片层，各个切口都是圆形，面积算法如下所示：
圆柱：r×r×π=πr2
圆锥：h×h×π=πh2
半球：
在这里，将圆锥和半球的面积加起来就是πh2+π（r2—h2）=πr2，和圆柱的面积完全一致。不管从哪里切，切下的片层面积都是圆锥+半球=圆柱，所以体积也是圆锥+半球=圆柱。圆柱的体积是底面积×高，即πr3。在这里我们知道，圆锥是圆柱的13，即13（πr3）。所以，半球的体积就是圆柱—圆锥，即23（πr3），因为球是半球的2倍，所以球的体积就是43（πr3）。
自然数
自然数即非负整数。可以按以下顺序扩展开来。自然数（零和正整数）→整数（包括正整数、零和负整数）→有理数（可以用分数形式表示的全体数）→实数（包括有理数和像和π等在内的以及不能用分数表示的“无理数”）→复质数（包括2次方后为负数的虚数）。
质数
质数是在自然数中除了1和它本身以外不再有其他的因数。2、3、5、7、11、13、17、19、23、29等，数学家们最终证明了存在无穷大的质数（质数有无限个）。2010年2月至今，据说发现的最大质数是243，112，609-1，大约是2的4300万次方，约有1300万位数。在数学的许多未解猜想中有很多都和这个质数有关，因此单纯的质数定义在数字的世界里就有很多未解之谜，所以存在研究的价值。同时，将一个非质数（称作合数）用几个质数相乘的形式表达出来叫作分解质因数。例如，60可以分解成2×2×3×5。
费马小定理
费马小定理是在费马最终定理之前提出来的，把p设为质数，a设为与P互质（即两者只有一个公约数1）的整数。那么，xp-1-1被p除余数始终为1。使用此公式，x无论是多么庞大的数字，我们都能够得出除以质数p之后的余数为1。因此，此定理因为其判定质数起到作用而受重视。不过这个定理费马当年也没有给出证明，最早是被莱布尼茨所证明的。后来，欧拉将其扩充并一般化，这以定理在证明费马最终定理过程中也得以应用。
未解决问题（未解决的猜想）
美国的克雷数学研究所为纪念世纪末准备了奖金，用于悬赏2000年提出的7大未解决问题。其中包括“NP完全问题”“霍奇猜想”“庞加莱猜想”“黎曼假设”“杨·米尔斯理论”“纳卫尔—斯托可方程”“BSD猜想”。一般人是无法理解其具体内容的，第三个“庞加莱猜想”本文也提到过，于2006年已解决了，现在还剩6个。其中难度的制高点应该是“黎曼假设”。“黎曼函数”指的是，是否能求出1到某个数字之间存在多少个质数。话题会变得有些专业，有一个被称为“黎曼函数”的复杂函数，如果能证明使“黎曼函数”等于零的所有解都在一条直线上，那么也就可以证明这个猜想是正确的，与质数分布有关的许多谜团也就能够解开了。一旦弄清质数的性质，可能“哥德巴赫猜想”，即4以上的偶数可以表示成2个质数之和，也能被证明。
同时，也有类似的猜想，即5以上的奇数都可以表示成3个质数之和，早已被证明出，如果黎曼猜想是正确的，那么这个猜想也是正确的。如同费马最终定理和“谷山—志村猜想”，在数学中存在很多“如果黎曼猜想是正确的，那么这个也是正确的”等对数学研究有价值的断言。毫无疑问数学界也一直期待这个猜想被证明出来。
另外一个容易理解的是“冰雹猜想”（角谷猜想），它是在20世纪末期被提出来的一个新问题。对于任意一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2，如此反复，最终都能够得出1。比如7，可以得出7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1。像27等数字算起来会比较麻烦，但的确，最终都能得出1。实际上，尝试计算几个还是挺有趣的，要证明却极其困难。
模形式
三角函数（例如y=sinx）是以角为自变量（周期为2π）反复着同样波形的函数。（如图所示）
像这样，即使以某种方法进行变换，也能保持与原来函数不变的这一性质就叫作自守形式。这种自守形式的扩充就是“模形式”。就如正文提到的一样，“模形式”是复平面的双曲空间，就必须要放在非欧几里得几何学支配的四次元空间里思考，所以就和三角函数一样甚至用图表或公式都无法表示。
函数
上述莱布尼茨所研究出的概念里，根据某个变量，都有一个固定的值与此相对应的式子就是函数。最简单的一次函数应该是我们在初中所学的y=ax+b。例如某人以100米分钟的速度从家步行到公司，顺便去一下离家300米的便利店，从便利店到公司所需15分钟。试问，家到公司的距离为多少千米？这个问题就可以用一次函数来解决。设所求的距离为y，y=100×15+300，即得出距离为1800米。
这是最基本的一次函数，变量（指x）的数值增加，或者次元增加时，函数也会相应变得复杂起来，但是它的基本概念还是我们一开始所描述的那样没有发生变化。即“变量决定固定值”的式子没有发生变化。
椭圆曲线和“谷山—志村猜想”