三逻辑系统的基本概念与命题 A 原子（第3页）

（甲）x是人。

（乙）x有人性（这种话在中文不成话，但我们可以利用以表示属性与关系的分别）。

（丙）x是一个人。

第一个命题里所谈到的只有一个具体的x。所谓是人者不过是以“人”去摹x的状而已。以“人”去形容x，好像以红去形容y，以“四方”去形容z。此处的“是人”当然不表示关系。第二个命题，形式已变。它所表示的看起来似乎是关系，因为有些表面上同式的命题表示关系。比方说“张先生有一本宋版书”。这命题所表示的情形中有两个具体的东西，一是具体的而能以“人”形容的东西，一是具体的而能以“书”形容的东西。这两个具体的东西有“有”所表示的那个极复杂的关系。既然如此，我们很容易联想到“x有人性”这命题也就表示关系。如果我们这样的想，我们错了。此“有”非彼“有”，有书之“有”是关系，而有人性之“有”不是关系。从个体方面着想“人性”是一个个体的属性，所以有人性的“有”不是两个个体的关系。第三个命题似乎也表示关系。所谓“是一个人”者是说人类中有1，2，3…n…的分子，而x是这些分子中之一。x即是人类分子中之一，它与人类似乎发生包含关系。其实不然，我们可以提出以下两理由：

（甲）“是一分子”不是“包含”关系。包含关系是同一层次上两类的关系，而“是一分子”不是同一层次上两类的关系。在“x是一个人”这命题之中，x不是类，是个体，所以“是一个人”不能是包含关系。同时包含关系是传递的关系；那就是说，如果甲包含乙，乙包含丙，则甲包含丙。“是一分子”，即视为关系，也不是包含关系，因为它无传递质；如果甲是乙的分子，乙是丙的分子，甲不能同样地是丙的分子。无论如何，它不是包含关系。

（乙）个体与个体有关系。“是一分子”是否个体与个体的关系呢？在这命题所表示的情形中，只有x个体，其他非x的，可以有而不必有的，人类的分子，如l，2，3…n…虽有共同的属性，虽可以有它们彼此的关系，而在我们所讨论的命题范围之内，这些可有的关系都与此命题不相干。

总而言之，以上所举的命题都不是表示关系的命题。表示属性的命题虽可以有种种不同的表示，而我们大都不能勉勉强强地把它变成表示关系的命题。有一两种关系是例外，但在此处我们不必提出讨论。请注意这是从简单命题一方面着想，复杂命题情形不同。

（三）表示关系的命题也不容易变成表示属性的命题。最好的例就是传统逻辑教科书里的afument。兹以

x比y长，

y比z长，

所以x比z长。

此推论毫无错处，可是照传统的三段论式法看来，则有毛病：（甲）三段论式的命题都是主宾词式的命题，而这个推论中的命题不是；（乙）三段论式只有，而照它的规律看来，只能有三个名称，而这个推论有四个名称。有此情形，有些人就想法子消除此困难，说以上的推论虽不是三段论，而它实在根据于三段论，它的普遍形式如下：

凡长于y者是长于z者，

x是长于y者，

所以x是长于z者。

这个说法把“比——长”的关系当作属性，把原来的四个名称变成三个名称。但无论如何，大多数的人看起来总不免觉得以上的办法太勉强。“比——长”“比——大”，等等不容易叫作“性”，而在x比y长这情形或事实中“比y长”不属于x，即勉强说它属于x，也不像形色之属于x。总而言之，表示关系的简单命题也不是表示属性的简单命题。

d。表示命题的符号。现在我们介绍表示命题的符号。最初有未解析的简单命题，其次有解析后的两种命题，又其次有复杂的命题。

（一）未解析的简单命题。未解析的简单命题，以“p，q，r…”等表示之。这些命题中有表示属性的，也有表示关系的。其实所谓“简单命题”大有问题。简单的标准如何、程度如何，是不能解析呢，还是不便解析呢？这些问题都不容易解决。但这些命题可以作系统中最初的原子，利用它们以表示逻辑方面的关系。

（二）这些简单命题可以分成表示个体的属性与表示个体与个体的关系的命题。我可以用“x，y，z…”表示个体，用“φ，ψ，χ…”表示属性，用“R1，R2，R3…”表示关系。

（甲）表示属性命题的函量为φx，ψx，χx…

（乙）表示关系命题的函量为Rx，y，Rx，y，z，Rx，y，z，w…

（三）关于（二）条有两种特别要注意。（一）条的“p，q，r…”代表未解析的命题，我们虽不知道它们所代表的命题究竟为真为假，但我们知道它们所代表的为命题，而无论所代表的是什么命题，我们总可以说它们或真或假。（二）条里的φx或Rx、y则不然，它们所表示的不一定是命题，如果所代表的不是命题，或不是一个系统之内的命题，则无所谓真假，或无所谓这一个系统之内的真假。兹以φx为例：如果x代表这张桌子，φ代表“方”，则φx是真的；如果x代表饭厅里那张圆桌子，φ仍旧，则φx是假的；如果x仍旧，φ代表“有理性的”，则φx可以说是无所谓真假。所以φx等等，Rx、y、Rx、y、z…不是命题，它们不过是两种命题函量。这是一点，还有一点要注意的就是有些关系要两个个体做它们的关系分子（relata），有些要三个，有些要四个，等等。这一层我们不能不预为之备。Rx、y、z虽有以上φx所有的问题，而如果R是要三个关系分子的关系，则在Rx、y中，无论x、y代表什么，Rx、y总无所谓真假。

（四）“x”可以代表这一个个体，那一个个体，等等。如果我们的意思是说“‘φx1’与‘φx2’与‘φx3’与…‘φxn’…”是真的，我们可以用以下公式表示：

（x）·φx，（（x）可以有两种解释见前）如果我们的意思是说“‘φx1’或‘φx2’或‘φx3’或‘φxn’或…”是真的，我们可以用以下公式表示：

前一公式表示“所有的x是φ”或“任何x是φ”；后一公式表示“有x是φ”或“至少有一x是φ”。表示关系的命题函量也可以照以上方法变：（x，y）·Rx，y，

由此我们可以慢慢地由简单命题函量一步步地进而得复杂的命题函量。既有如此通式，我们当然也可以用同样的方法，慢慢地由简单命题而得复杂的命题。

e。命题的值。从前曾说过逻辑系统可以视为可能的分类。把可能的分类引用到命题上面去，就是命题的值的问题。命题有多少值要看我们预备把可能分为多少类。如果我们把可能分为两类，命题有两值。如果我们把可能分为三类或n类，命题有三值或n值。关于值我们可以注意以下诸点。

（一）设把可能分为两类，那么命题有两值。设以+，-表示之。对于这两个符号，我们有系统通式的看法与系统的看法。从系统通式的看法，它们就是两符号而已，我们对于这两符号，可以有而事实上不见得即有种种的解释。我们可以把它们视作“正”“负”，我们也可以把它们视作“真”“假”；我们不必把它们视作“正”“负”，也不必把它们视作“真”“假”。当然每一特殊系统，对于以上的符号，事实上总有一特殊的解释。在二分法方面，这两个值引用到命题上去，大都解作“真”“假”。可能既彼此不相容而又彼此穷尽，则命题的值也就彼此不相容，而又彼此穷尽。那就是说一命题不真即假、不假即真，它不能既真且假，也不能非真非假。

（二）设把可能分为三类，命题就有三值。兹以Lukasiewicz与Tarski的三值系统通式为例，以“|”“？”“0”表示之。从系统通式方面着想，这与以上情形相似。这三个符号可以有，而事实上不见得即有种种的解释。事实上有一解释说得通。“|”可以视为“定真”“？”可以视为不定真假，“0”可以视为“定假”。既然如此，则在此系统内，一命题或“定真”或“定假”或“真假不定”。这个系统的值与以上那个系统的值不同。上面的值可以说是没有心理成分，而这里的值有心理成分。这不是说逻辑是“心理的”，这不过是说这三个符号有这种解释之后所得到的三个值有心理成分在内。此系统的“定真”不是那一系统的“真”，此系统的“定假”不是那一系统的“假”。在那一系统之内不能有非真非假的命题，而在这系统之内可以有不定真不定假的命题。这系统虽有不定真不定假的命题，它还是不能有既不“定真”又不“定假”又不“不定真假”的命题。

（三）从系统通式方面着想，我们可以有n类可能，命题也可以有n值的可能，无论n的数目多大。可是系统通式的问题与系统的问题不同。在系统通式方面，我们可以有n可能，命题也可以有n值，而这些可能的解释，这些值的解释，都不是系统通式范围之内的问题。在系统则不然，n可能要有n解释，n值也要有n值的解释，而事实上n的数目太大时，n可能与n值的解释均不易得。即勉强得到，而系统之是否为逻辑系统，也就发生问题。