伟大经典的数学著述（第2页）

孩童就带着杨辉找到了先生，杨辉把这孩童的情况向先生说了一遍，又掏出银两，给孩童补了名额，孩童感激不尽。自此，这孩童方才有了真正的先生。

教书先生对杨辉的清廉为人非常敬佩，于是俩人谈论起数学。杨辉说道：“方才我和孩童做的那道题好像是《大戴礼》书中的？”先生笑着说：“是啊，《大戴礼》虽然是一部记载各种礼仪制度的文集，但其中也包含着一定的数学知识。方才你说的题目，就是我给孩子们出的数学游戏题。”

教书先生看到杨辉疑惑的神情，又说道：“南北朝的甄鸾在《数术记遗》一书中就写过：‘九宫者，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。’”

杨辉默念一遍，发现他说的正与上午他和孩童摆的数字一样，便问道：“你可知道这个九宫图是如何造出来的？”教书先生也不知出处。杨辉回到家中，反复琢磨，一有空闲就在桌上摆弄着这些数字，终于发现一条规律。

他把这条规律总结成四句话：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。就是说：一开始将九个数字从大到小斜排三行，然后将9和1对换，左边7和右边3对换，最后将位于四角的4、2、6、8分别向外移动，排成纵横三行，就构成了九宫图。如图：

后来，杨辉又将散见于前人著作和流传于民间的有关这类问题加以整理，得到了“五五图”、“六六图”、“衍数图”、“易数图”、“九九图”、“百子图”等许多类似的图，杨辉把这些图总称为纵横图，于1275年写进自己的数学著作《续古摘奇算法》一书中，并流传后世。

纵横图最早起源于中国，通常人们知道最早的幻方就是我国著名的“九宫图”，早在汉郑玄《易纬注》及《数术记遗》中都记载有“九宫”即三阶幻方，千百年来一直被人披上了神秘的色彩。

幻方的幻在于无论取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的。关于幻方的起源，中国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。又传洛水河中浮出一只神龟，龟背上有一张象征吉祥的图案称为“洛书”。他们发现，这个图案每一列，每一行及对角线，加起来的数字和都是一样的，这就是我们现在所称的幻方。也有人认为“洛书”是外星人遗物；而“河图”则是描述了宇宙生物（包括外星人）的基因排序规则，幻方是外星人向地球人的自我介绍。

另外前几年在上海浦东陆家嘴地区出土了一块元朝时代伊斯兰教信徒所挂的玉挂，玉挂的正面写着：“万物非主，惟有真宰。”伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈四十五个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。这九个数就可以组成一个纵横图，人们把由九个数三行三列的幻方称为三阶幻方，除此之外，还有四阶、五阶……

幻方最早记载于中国前五百年的春秋时期《大戴礼》中，这说明中国人民早在二千五百年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。中国不仅拥有幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。

13世纪的数学家杨辉已经编制出三至十阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。在欧洲，直到1514年，德国著名画家丢勒才绘制出了完整的四阶幻方。

在国外，十二世纪的阿拉伯文献也有六阶幻方的记载，中国的考古学家们曾经在西安发现了阿拉伯文献上的五块六阶幻方，除了这些以外，历史上最早的四阶幻方是在印度发现的，那是一个完全幻方（后面会提到），而且比中国的杨辉还要早了两百多年，印度人认为那是天神的手笔。1956年西安出土一铁片板上所刻的六阶幻方（古阿拉伯数字）。13世纪，东罗马帝国才对幻方产生兴趣，但却没有什么成果。直到十五世纪，住在君士坦丁堡的魔索普拉才把中国的纵横图传给了欧洲人，欧洲人认为幻方可以镇压妖魔，所以把它作为护身符。

《续古摘奇算法》上卷首先列出20个纵横图，即幻方。其中第一个为河图，第二个为洛书，其次，四行、五行、六行、七行、八行幻方各两个，九行、十行幻方各一个，最后有聚五、聚六、聚八、攒九、八阵、连环等图。有一些图有文字说明，但每一个图都有构造方法，使图中各自然数“多寡相资，邻壁相兼”凑成相等的和数。

杨辉利用数学方法寻找规律，巧妙地构造出许多别具风格的幻方来，杨辉构造的九宫图，方法简单又巧妙。杨辉在构造了三、四阶幻方的基础上，继续对幻方进行系统研究，陆续地构造出五阶、六阶、七阶、八阶、九阶、十阶幻方。此外，他还突破了幻方为正方形的限制，将它扩大到不同的形状。

杨辉对幻方的研究和推广，大大丰富了这种数字游戏的内容，杨辉的纵横图对后世也深有影响，明代程大位、清代方中通、张潮、保其寿等，都曾在此基础上进一步研究纵横图。直到今天，在国际上一些科学家利用幻方这种变化无穷的特点，把它作为智力测验的工具和智力玩具，提高了它在训练人们机智方面的层次。对幻方的深入研究也为人们带来了新的启示，将幻方中的自然数换成一般的物体，也对它们按一定规则进行安排，并进一步讨论这种安排的存在性问题、计数问题、构造问题和优化问题，就构成了今天的数学分支——组合数学的主要内容。古老的幻方作为历史上最早的组合机构，开创了组合数学的先河，显示了中华民族的聪明才智，近代它还被现在计算机程序设计、人工智能等许多方面都有着广泛的应用。

过去，幻方仅作为一种游戏，近代已经发现，幻方在哲学、美学、美术设计、计算机程序设计、图论、人工智能、对策论、组合分析等方面有广泛的应用。幻方可以应用于哲学思想的研究。在数学中，幻方蕴涵的哲理思想是最为丰富的。《易经》是一本哲学书，它几乎影响了国内外的各种哲学思想。而易学家们通过多方面的研究发现，易学来源于河图洛书，而洛书就是三阶幻方。幻方的布局规律、构造原理蕴涵着天地万物的生存结构，是说明宇宙产生和发展的数学模型。

幻方也可以应用于美术设计。数学是美的，幻方更美。幻方是数学按着一种规律布局的一种体系，每个幻方不仅是一个智力游戏，而且还是一个艺术佳品，都以整齐划一、均衡对称、和谐统一特殊性，迸发出耀人的光辉。幻方可大量应用于美术设计，西方建筑学家勃拉东发现幻方的对称性相当丰富，并采用幻方组成许多美丽的图案，他把图案中的那些方阵内的线条称为“魔线”，应用于轻工业品、封面包装设计中，德国著名画家和数学家丢勒的作品《忧郁》中，因有一个能指明制作年代的幻方而闻名于世。艺术美与理性美的和谐组合，往往成为流芳千古的佳作。但长期以来，人们习惯于把它当做纯粹的数学游戏，并没有给予应有的重视。随着近代组合数学的发展，纵横图显示了越来越强大的生命力，在图论、组合分析、对策论、计算机科学领域中都找到了用武之地。杨辉研究出三阶幻方（也叫洛书或九宫图）的构造方法后，又系统的研究了四阶幻方至十阶幻方。在这几种幻方中，杨辉只给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明，四阶以上幻方，杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误，可见他已经掌握了高阶幻方的构成规律。

杨辉的另一重要成果是垛积术。这是杨辉继沈括“隙积术”之后，关于高阶等差级数求和的研究。在《详解九章算法》和《算法通变本末》中记叙了若干十二阶等差级数求和公式。

杨辉数学著作的特点是深入浅出、图文并茂，很适于教学，而且有不少创新。另外，杨辉的书中不仅记录了一些古代有价值的数学成果，杨辉在《详解九章算术》的基础上，专门增加了一卷“纂类”。“纂类”中杨辉提出“因法推类”的原则。正如郁松年所说，《纂类》以“算法为纲”，“以类相从”。这种思想与《九章算术》相比是一个进步，因为《九章算术》的分类标准并不一致，有的按用途分，有的按算法分。杨辉则突破了原书的分类格局，按算法的不同，将书中所有题目分为乘除、互换、合率、分率、衰分、叠积、盈不足、方程、勾股九类。

每一大类中，由总的算法演绎出不同的具体方法，并给出相应的习题。例如，“方程”类便依次给出方程、损益、分子、正负四法，“方程法曰：所求率互乘邻行，以少减多，再求减损，钱为实，物为法，实如法而一。”这是解线性方程组的基本方法，此法后的十一个题全是基本类型，可直接列出最简方程组。“损益”指的是移项及合并同类项，分子术指去分母的方法，正负术指方程变换时所用的正负数运算法则，各法后分别列有相应的具体题目。这种作法体现了由干生枝的演绎思想，方程法是干，损益、分子、正负三法是枝。再如“勾股类”，共设38问，分别置于21种方法之后，而第一种方法——勾股求弦法（即“勾股各自乘，并而开方除之”）是后面各法的基础，这种顺序也体现了演绎思想。

杨辉不仅总结了当时的各种数学知识，还批评了以往数学著作中的一些错误，这种作法在杨辉以前的算书中很少见。例如，他在《田亩比类乘除捷法》一书中便批评了《五曹算经》中的三个错误，一是在田亩计算中用方五斜七之法（即把正方形边长与对角线之比取作5∶7），二是题问概念不清，三是四不等田求法之误。