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伟大经典的数学著述

杨辉曾做过地方官，足迹遍及钱塘、台州（今浙江临海）、苏州等地。与他同时代的陈几先称赞他为人儒雅谦和、公正廉洁。杨辉特别注意社会上有关数学的问题，多年从事数学研究和教学工作，是东南一带有名的数学家和数学教育家。他走到哪里都有人请教数学问题。从1261年到1275年的十五年中，他先后完成数学著作五种二十一卷，即《详解九章算法》十二卷，《日用算法》二卷，《乘除通变本末》三卷，《田亩比类乘除捷法》二卷和《续古摘奇算法》二卷（其中《详解》和《日用算法》已非完书），后三种合称为《杨辉算法》。

有一次，杨辉得到一本《黄帝九章算法细草》，这是北宋数学家贾宪写的。这里面有不少了不起的成就，如贾宪描画了一张图，叫作“开方作法本源图”。

杨辉继承中国古代数学传统，他广征博引数学典籍，引用了现已失传的宋代的许多算术，比如刘益的“正负开方术”，贾宪的“开方作法本源图”、“增乘开方法”，幸得杨辉引用，否则，今天将不复为我们知晓。他先后完成数学著作五种二十一卷，即《详解九章算法》十二卷（1261年），《日用算法》二卷（1262年），《乘除通变本末》三卷（1274年），其中《乘除通变本末》三卷，上卷叫《算法通变本末》，中卷叫《乘除通变算宝》，下卷叫《法算取用本末》，下卷是与史仲荣合撰的。

另一方面，他在宋度宗咸淳年间的两本著作里，亦有提及当时南宋的土地价格。这些资料对后世史学家了解南宋经济发展有很重要的帮助。杨辉在著作中收录了不少现已失传的、古代各类数学著作中很有价值的算题和算法，保存了许多十分宝贵的宋代数学史料。他对任意高次幂的开方计算、二项展开式、高次方程的求解、高阶等差级数、纵横图等问题，都有精到的研究。杨辉十分留心数学教育，并在自己的实践中贯彻其教育思想。

杨辉更对于垛积问题（高阶等差级数）及幻方作过详细的研究。由于他在他的著作里提及过贾宪对二项展开式的研究，所以“贾宪三角”又名“杨辉三角”。这比欧洲于17世纪的同类型的研究“帕斯卡三角形”早了差不多五百年。

杨辉在《详解九章算法》一书中还画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”。

杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，简单来说就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如（x＋y）2等于x2＋2xy＋y2，这样系数就是1、2、1，这就是杨辉三角的其中一行，立方，四次方，运算的结果看看各项的系数。

杨辉三角与我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律。如图，在杨辉三角中，第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方公式，依次下去杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如下：

杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和。

为普及日常所用的数学知识，杨辉专门写了《日用算法》一书，并提出务必要从实践出发的原则。书中的题目全部取自社会生活，多为简单的商业问题，也有土地丈量、建筑和手工业问题。这种应用数学是便于普通读者接受，也便于发挥社会效益的。这本《日用算法》，可惜早已失传，仅有几个题目留传了下来。从《算法杂录》所引杨辉自序可知该书内容梗概：“以乘除加减为法，秤斗尺田为问，编诗括十三首，立图草六十六问。用法必载源流，命题须责实有，分上下卷。”该书无疑是一本通俗的实用算书。

《乘除通变本末》三卷，皆各有题，在总结民间对等算乘除法的改进上作出了重大贡献。上卷叫《算法通变本末》，首先提出“习算纲目”，是数学教育史的重要文献，又论乘除算法；中卷叫《乘除通变算宝》，论以加减代乘除、求一、九归诸术；下卷叫《法算取用本末》，是对中卷的注解。

杨辉在台州任知府的时候，有一年春天，杨辉想出外巡游、踏青，一路上，迷人的芳香的气息扑鼻而来，杜鹃隐藏在果树的枝头，用它那圆润、甜蜜、动人心弦的鸣啭来唤醒春天的生机，成群的画眉鸟像迎亲似的蹲在树的枝丫上，发出婉丽的啼声。楝树、花梨树和栗树都仿佛被自身的芬芳熏醉了。杨辉撩起轿帘，看那杂花生树，飞鸟穿林，真乃春色怡人淡复浓，唤侣黄鹂弄晓风。更是一年好景，旖旎风光。

走着、走着，只见开道的镗锣停了下来，前面传来孩童的大声喊叫声，接着是衙役恶狠狠的训斥声。杨辉忙问怎么回事，差人来报：“孩童不让过，说等他把题目算完后才让走，要不就绕道。”

杨辉一看来了兴趣，连忙下轿抬步，来到前面。衙役急忙说：“是不是把这孩童哄走？”杨辉摸着孩童头说：“为何不让本官从此处经过？”孩童答道：“不是不让经过，我是怕你们把我的算式踩掉，我又想不起来了。”

“什么算式？”

“就是把一到九的数字分三行排列，不论直着加，横着加，还是斜着加，结果都是等于十五。我们先生让下午一定要把这道题做好。我正算到关键之处呢。”孩童一脸天真地说。

杨辉连忙蹲下身，仔细地看那孩童的算式，觉得这个数字好像从哪见过，仔细一想，原来是西汉学者戴德编纂的《大戴礼》书中所写的文章中提及的。杨辉和孩童俩人连忙一起算了起来，直到天已过午，俩人才舒了一口气，结果出来了，他们又验算了一下，觉得结果全是十五，这才站了起来。

孩童望着这位慈祥和善的地方官说：“耽搁你的时间了。”杨辉一听，说：“我想见一见你的先生，你看如何？”

孩童望着杨辉，泪眼汪汪，杨辉心想，这里肯定有什么蹊跷，温和地问道：“到底是怎么回事？”孩童这才一五一十把原因道出：原来这孩童并未上学，家中穷得连饭都吃不饱，哪有钱读书。而这孩童给地主家放牛，每到学生上学时，他就偷偷地躲在学生的窗下偷听，今天上午先生出了这道题，这孩童用心自学，终于把它解决了。

杨辉听到此，感动万分，一个小小的孩童，竟有这番苦心，实在不易。便对孩童说：“这是十两银子，你拿回家去吧。你领我去学堂，好吧？”