从实践出发的数学教育思想（第2页）

绢一万三千一百五十二尺，问为绢几匹。

直田长九十步，阔七十步，问积步。

木炭七千五十六斤，各支百四十七斤，问人数。

开渠积六千八百三十七尺，共用一百五十九工，问一工取土多少。

另外，在《田亩比类乘除捷法》中所涉及到的几何图形名称无不是取自于生活实际当中。如：“直田、方田、圆田、圭田、梯田、牛角田、萧田、墙田”等。这些名称对应着我们现代的几何图形分别为“长方形、正方形、圆形、圆环形、三角形梯形，不规则四边形，倒梯形、半梯形”等。另还有诸如“腰鼓田、鼓田”等。在书中，杨辉还多五次提到“台州量田图”的问题：

台州量田图，有牛角田，用弧矢四法。

台州黄岩县围量田图，有梭田样，即二圭田相并，今立小题验之。

台州量田图，有曲尺田，内曲十二步，外曲二十六步，两头各广七步，问田几何。

台州量田园，有箭翎田，中长八步，东西两畔各长四步，阔一十二步，问田几何。

可见，杨辉对台州非常熟悉，他编入自己书中的这些题目无一不是来自于他工作和生活的实际，如果没有丰富的第一手资料，他很难详尽地叙述并运用这些数据，这种与实际紧密结合，进行数学研究和数学教学的方法，是杨辉数学教育思想的主要特点，也是中国古代数学家们的优良传统之一。为了使数学知识能为普通百姓所理解和掌握，杨辉在编写数学教材的时候，常常把很多深奥的内容用最便于群众的“歌诀”方式表达出来。这恰恰也是中国古代民间数学的特色之一。如“求一乘法”和“求一除法”歌诀：

求一乘法：五六七八九，倍之数不走；

二三须当半，遇四两折纽；

倍折本从法，实即反其有；

用本以代乘，斯数足可守。

求一除法：五六七八九，倍之数不走；

二三须当半，遇四两折纽；

倍折本从法，为除积相就；

用减以代除，定位求如旧。

这样的歌诀就是普通百姓生活中最常见的歌谣，通俗易懂，押韵顺口。这对于人们学习数学的帮助是显而易见的了。杨辉就是用这样的方式培养人们对于数学的学习兴趣。杨辉的数学并不倾向于高深的理论研究，更多都是粗浅的侧重于基础知识的实用数学。数学来自日常生活，又为日常生活服务，这样杨辉的数学在民间便得到了更加广泛的流传和普及。

在教学方法上，杨辉主张循序渐进，精讲多练。先熟练习题的运算，之后再总结算理、算法。《乘除通变本末》一书中，开篇便列有“习算纲目”，可以说是中国数学教育史上最早的一份数学教育教学大纲。这份数学大纲包括了学习进度、学习内容、学习方法、学习材料以及一些学习重点、难点的提示等。

在“习算纲目”中，杨辉非常强调对习题的熟练运算，练习的时间一般都要比正课多好几倍的时间，有的甚至几十倍，“习算纲目”通篇体现了杨辉由易到难、由浅入深、循序渐进的数学思想以及先熟练运算再明算理的数学主张。

第一阶段，先学“九九合数”，即九九乘法表。“一一得一，至九九八十一”，随后安排学习的内容和进度。学习“相乘”，讲课一日，温习五日；“商除”讲课一日，但温习半个月。以上二种方法，都是从一位数到六位以上数的运算。

第二阶段，学习有关乘除的替代算法。学加法起例并定位，功课一日，温习三日；学减法起便并定位，功课一日，用五日温习等。除了计算法之外，杨辉还指出在熟练运算之后，一定要知道算理的重要性。

第四阶段，就学习“通分”和“开方”了。通常人们认为“通分”很麻烦，但杨辉却要求学生不要认为有什么可麻烦的，认真学一下就好了。他将这些复杂的数学知识化简，化难为易，在编教材时充分考虑学生的心理和知识发展水平，尽量使深奥的数学知识变得更加直观、通俗，使之更容易推广、普及。这种利用社会生活中的课程资源进行是便于普通读者接受，也便于发挥社会效益，同时也便于学生能力的培养。

然后学习“开方”。“开方”是数学中用途很广泛的一部分知识，而且其本身就有七部分知识，即“开平方、开立方、开平圆、开立圆、开分子方、开三乘以上方和带从开方”。所以学习起来自然就要多花些时日，边学边研究，在学习方法上，杨辉提倡熟读精思，融汇贯通；提倡对知识的理解，反对死记硬背，直到能做到融会贯通，活学活用的程度为止。

最后一个阶段，就是要学习传统的《九章算术》了。经过前面几个阶段的基础知识训练之后，在熟练掌握各种算法的基础之上再来学《九章算术》难度就不大了。

在教学方面，杨辉认为，教师编书或讲课时，应该用算法统帅习题。要说明一种算法，都要先设置一种数学问题。每种算法都要有相应的数学题目来验证和练习。在要求学生进行大量的习题训练的同时，杨辉还强调要精选例题，并且在讲清楚算法的来龙去脉之后，启发、引导之中要触类旁通，并提高学习上的自觉性和主动性。可见，杨辉对于学习数学理论知识和运用练习题来理解并加以巩固，这两者之间的重要关系有着很深刻的认识。

杨辉一生治学严谨，教学一丝不苟，他的这些教育思考和方法，至今也有很重要的参考价值。