第八章（第3页）

1。数学模型

数学模型可分为经验模型和理论模型。

化工中常用的经验模型有：多项式、幂函数和指数函数。流体的物理性质如热容、密度和汽化热等与温度的关系，常用多项式回归分析；动量、热量和质量传递过程中的无因次数群之间的关系，多用幂函数回归分析；而化学反应、吸附、离子交换以及其他非稳态过程，常用指数函数回归分析。

理论模型又称为机理模型。理论模型的方法是建立在对过程本质的深刻理解基础上的。首先将复杂过程分解为多个较简单的子过程；然后根据研究的目的进行合理的简化，得出物理模型；接着应用物理基本规律和过程本身的特征方程对物理模型进行数学描述，得到数学方程；再对数学模型进行解析解或数值解，得到设计计算方程；最后通过实验确定上述方程中含有的模型参数。

2。参数估值

数学模型选定之后，需要对其中的参数进行估值。对于线性数学模型，待求参数可用最小二乘法求得。对于非线性数学模型，通常通过线性化处理而化为线性数学模型，然后用线性最小二乘法求出新的参数，从而再还原为原参数。在处理经验数学模型时，这种方法简便易行，具有一定的使用价值。

下面重点介绍线性最小二乘法。

最小二乘法的原理是在有限次测量中最佳结果应使标准误差最小，即残差的平方和最小。其数学表达式推导如下。

已知n个实验数据点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）。

设最佳线性函数关系式为y′＝a＋bx，则根据此式n组x的值可计算出各组对应的y′的值。

由于测定值各有偏差，若定义第i组数据的残差

按照最小二乘法的原理，测量值与真值之间的偏差平方和为最小，即

应最小。使Δ为最小的必要条件为

联立解得a和b。

由此求得的截距为a，斜率为b的直线方程，就是关联各实验点最佳的直线。

例：实验测得（x，y）的8组数据如下。假设x，y之间为线性关系，即y＝a＋bx，试确定其常数a和b。

（1，3。0），（3，4。0），（8，6。0），（10，7。0），（13，8。0），（15，9。0），（17，10。0），（20，11。0）

解：

联立求解上述两个方程式，得

3。回归方程的检验

用最小二乘法求得回归直线方程后，还存在检验回归直线方程有无意义的问题。可用相关系数r来判断两个变量之间的线性相关的程度。

式中：

在概率论中可以证明，任意两个随机变量的相关系数的绝对值不大于1，即

｜r｜≤1或0≤｜r｜≤1

r的物理意义是表示两个随机变量x和y的线性相关的程度，现分几种情况加以说明。

当r＝±1时，即n组实验值（xi，yi）全部落在直线y′＝a＋bx上，此时称为完全相关。

当｜r｜越接近1时，即n组实验值（xi，yi）越靠近直线y′＝a＋bx，变量y与x之间的关系越接近于线性关系。

当r＝0，变量之间就完全没有线性关系了。但是应该指出，当r很小时，变量y与x之间的关系不是线性关系，但不等于就不存在其他关系。