五如何将学习与教学理论运用到具体学科中加涅关于数学教育的思想（第1页）
五、如何将学习与教学理论运用到具体学科中——加涅关于数学教育的思想
加涅认为关于学习与教学的普遍理论对于学科知识的教学和学习是大有裨益的。这里仅以数学学科为例探讨加涅学习教学论在数学教育中的应用。
我们知道加涅关于学习层级的理论最早来自于20世纪六七十年代，那时他曾与马里兰大学开展数学研究项目。他们曾经通过实验的方法来研究对于小学生几何学习的影响因素。①通过实验，加涅证明了在数学学习中，知识的层级是影响学生知识获得的一个重要因素。也正是在与马里兰大学所进行的数学项目的研究中，初步形成了加涅关于学习层级的思想。
到20世纪80年代，当他的学习与教学理论逐渐成熟时，他又提出学习与教学的理论在数学领域比如说算术、几何、微积分中同样适用。这里仅以算术为例探讨加涅关于数学教育中的思想。
加涅关于数学教育的研究与当时的美国的社会大背景关系密切。80年代的美国尽管一直在强调加强中小学数学教育，提高数学教学的水平，但是其结果并不理想：学业能力倾向测验（theScholasticAptitudeTest）的平均成绩逐年下降，美国国家教育评估（theNatioofEd-ualProgress）的结果更加惨淡，约有42%的17岁青年几乎不会计算百分比，58%的青年不会计算面积。在佛罗里达州对11年级的学生进行的读写测试中（theFunalLiteracyTest），数学部分的不及格率要明显高于言语部分。在大学，当一些学生发现化学问题涉及许多数学问题解决时，很多学生改变了他们的课程选择。①由此加涅提出，也许有的人因为在数学方面表现不出色而不喜欢数学，但是一些非常有用的数学基本技能却必须要掌握。随后，他提出了在数学基本技能教学中应该注意的问题，企图通过学习相关理论研究来改变数学学习与教学中的问题，这里仅以加涅关于低年级数学问题解决的思想来做说明。
1。数学中具体与抽象的转换
数学中首先要解决的是抽象与具体的问题。加涅通过对于学生解决数学问题的分析指出，在数学问题的解决中至少涉及三个过程。
第一，将具体问题转变为数学表达式。比如“运动场跑道一圈是400米。小明坚持每天跑5圈，他每天跑多少米?”是具体的数学问题，需要转变为数学表达式“400×5”。“400×5”可以看成是抽象的，但计算时又将涉及具体规则的应用。
第二，运用规则，得出结果。这里就涉及将数字以某种形式列出来（如列出竖式），运用乘法规则，计算出结果。“400×5”得出结果“2000”。“2000”依然是抽象的，除非它与具体的情境相联系。
第三，验证结果。当解答完毕后，需要核对结果。教师可以问：“你们计算的结果是每天跑2000米吗?”当然除此之外还有很多种方式。此时的2000与具体情境“小明每天跑2000米相联系，又变成了具体的”。
所以，加涅指出，在数学解决问题的过程中，学习者往返于具体与抽象之间，他必须能够完成由具体到抽象，并由抽象到具体的转化。这样要提高学习者的数学能力，就必须从这三部分入手。
首先，在口头陈述的具体情况转变为数学表达式的这个部分，我们可以看到口头语言是对于具体情况的描述，所以学习者必须具备一定的语言理解能力。除此之外，学习者还必须确定适当的数学运算，应该用乘法还是应该用除法等。基于此心理学家还利用计算机设计一套将“语词问题”转换为数学语言的程序，并将计算机的行为与人类的行为作比较。后来雷斯尼克和福特（ResnidFord）还指出学习者要具备跟计算机一样的能力就需要进行非常具体的自下而上的学习，以及适当的教学使学习者建立起相同的技能。那么什么样的教学能够使学生完成由口头陈述的具体情况到数学语言的转变呢?加涅指出，这种转变肯定不是像某些教师所教给学生的通过口头语词来判断，比如说“多多少”就意味着“加法”，“少多少”就意味着“减法”。教师应该帮助学生在头脑中形成某些解决问题的“图式”。前面我们讲到过，图式是物体、事件及行为背后的一般观念，可以用来组织零散的刺激、信息和数据。
图式的建立对于人们解决问题具有重要的意义，认知心理学家提出了问题解决与图式之间的关系。人们在遇到问题时，问题解决者首先是搜寻以前是否遇到过相类似的问题，若有，问题解决者则只需要激活正确的图式，就能够很快地解决问题了。若问题解决者没有可以利用的图式，必须通过对各种方法的搜索检验才能找到合适的解决方法。由此可见图式对于解决问题的重要性，结合到数学问题中，对于曾经经历过的类似的数学问题时，学生只要激活已有的图式（主要是利用已有的数量关系）解决问题就行了，无需再经历一次解决此类问题的探索过程。
所以，数学教学中可以通过“速度问题”“面积问题”“时间问题”“追击问题”等将具体的问题分类，建立起解决每类问题的图式，这样在完成从具体情境到数学表达式的转换中，学习者的效率将更高。
下面跳过第二阶段，来看第三阶段，验证解决方案，即检验解决方案是否有效。那是否就是通过最后计算结果来检验呢?在数学中有很多情况是没法用最后的结果来检验的，毕竟数学很复杂，比如说代数中方程的假根。有时即使连简单的两个数相乘都不行。
前面四个的计算还比较合理，但是后面的计算就很奇怪，过程和结果都很奇怪。其实在这个例子中，最简单的验证方法就是先用19乘以2所得的结果38再乘以10，即在38后面添一个0就可以了。
在乘法计算的这个过程中，对于学生来说，计算19乘以20的过程是具体的，其就是一个乘法规则的演示过程，先把两个数字按竖式的形式摆好，然后一次用一个数去乘，最后将所得的结果相加。但是检验的过程却是一个抽象的过程，学生需回忆19×20是否就等于19×2×10，同时学生还需要获得一些抽象的知识，比如说以0结尾的数字是10的倍数，在正整数后面添一个0原数扩大10倍等。
当然也还有很多其他验证解决方案的方法，但是关键在于教师要有意识的教给学生一些检验的方法，加减法可以相互检验，分数的计算可以用小数来检验，或是估算等。如果在这个计算中，学生知道19×20略小于20×20，即400的话，也不至于得出3800、2180这样的结果。
最后再回过头来看中间的计算阶段。加涅认为，中间的计算阶段是具体的。因为在这个过程中学习者处理的对象是写在纸上的具体数字表达式，他们知道如何利用规则计算72减去38，他们知道要列出竖式，他们知道个位不够减时，向十位借一当十。但是在数学学者中，有的人却不这么认为。有些学者认为，这个过程不是具体的。教师在对儿童的教学的过程中应该引入木块、木棒等一些可操作性的对象。他们认为利用这些可操作性对象来计算比学生在纸上进行演算更加具体。因为可以利用木棒或是木块作为中间计算阶段的辅助工具。加涅认为，这种方法对于学生其实是没有好处的，相反却有害处。当学生能够通过竖式计算出17乘以9，为什么又要用木棒来干扰他们呢?其实不仅没有减轻学生的负担反而增加了，因为在这个过程中，学生又要将数字转化为具体的几组木棒，并且学生不一定能够成功地完成这种转换。即使能够转换，也不一定对基本的计算有帮助。
在数学的教学中，关键点就是要把握好这三个阶段中抽象与具体的相互转化。
2。技能的自动化
在数学教学中，只要稍加留意就会发现，有些孩子基本的数学计算技能是错误的，如果不能改变学生这种错误的理解，正确的性能如何得到保证呢?所以在纠正错误技能方面，加涅提出了两个观点：第一个是错误的计算规则可以通过教授正确的规则加以纠正。也就是说，教师遇到学生习得了错误的规则，最好的方法就是忽略学生错误的表现形式，尽可能直接教授正确的规则。加涅认为，通过使学生认识到究竟自己错在什么地方，然后再教授正确的，这样的方式是不可取的，简直就是在浪费时间。第二个观点就是尽可能地从前面所提到的解决问题的三个阶段来进行教学，尤其是促进运算阶段的自动化。
在讲运动技能的过程中，曾经提到过自动化。当运动技能到达自动化的程度时，几乎不需要意识控制，也能熟练的完成动作。在数学计算中也涉及自动化的问题。而且自动化已经受到认知心理学家的普遍认识。他们认为在解决问题中涉及工作记忆，因为问题解决涉及对已有知识的使用，就需要将已有的知识从长时记忆中提取出来，与现在所遇到的问题相互作用，这个过程称为工作记忆。但是工作记忆的空间又是有限的，而要成功的解决问题，人的有限的注意力又要用于问题最复杂的部分，这样认知过程中的某些方面就必须达到自动化的程度，即其很少需要意识的控制。
这里可以通过一个简单的例子来说明，曾经有个研究理论物理的学生，碰到了一个问题，如何用数学方式来表示一个物理现象。这个学生边思考，边列出一些含有几个变量的代数方程式，其很快就将物理问题转化为代数方程问题，显然他做这些是自动的，很少需要有意注意。
其实，自动化的提出对于数学教学具有重要的意义。这里就可以解释为什么有的学生在整数的计算中经常出错，那是因为他们尚未获得正确的规则，或者是说他们并没有真正掌握规则，即规则的运用还未达到自动化的程度。同样也可以解释那些在将口头陈述的具体情境转化为数学表达式方面优异的学生而最后解决问题却不理想。其实原因就在于有些学生运算技能尚未达到自动化的程度，他们还需要花很大一部分注意力给运算，这样就干扰或减少了在问题解决上认知的投入。
在第一个阶段，与之相应的内部认知过程为“图式”的搜索与提取。这在前文中已经讲过，在学习者的头脑中贮存着关于时间、速度、工程问题等领域的图式，在转化过程中会在头脑中进行搜索，有相关的图式则按照图式解决问题，若没有，则将已有的知识与现有的问题相互作用，寻找解决方案。
第二个阶段是数学运算，所涉及的内部认知过程为自动运用数学规则。至于这些规则首先是如何被习得的，前面我们在讲规则的学习中已经具体讲过了，这里不做讨论。这里要强调的是，中小学生应该贮存大量的规则，并达到自动化的程度，即执行运用它们的时候达到仅需要少量注意力的程度。
第三个阶段是检验解决方案阶段。为了确保问题已经正确解决，学习者必须检验结果的正确性，或者说其结果是否有意义。结果的检验可以通过运用规则进行，就像用加法来检验减法的计算是否正确，当然也可以用评估的方式。这样在问题解决的评估中，就可能涉及如何进行评估的问题，可能又会使用到以往的图式。就像前面提到的19×20的例子，只要稍微懂得估算的学生，就不会得出3800这样的结果了。这也从另外一个方面说明了他们在检验结果方面的能力还很欠缺。
数学运算技能的自动化在小学低年级的教学中显得尤为重要，根据学习的层级理论，下位知识未能掌握则必定认知过程。
影响新知识的学习效果。由此，加涅提出了数学低年级教学中促进运算自动化的一些方法。
首先，教师需要关注的是第一阶段从问题情境到数学表达式的转换过程中图式的重要性。这就需要教师为学生提供各种不同的问题情境，并有意地将各种问题情境分类进行教学，以便使学生建立起不同的问题解决的图式。
其次，教学中要有意识的教给学生对解决方案或者结果进行验证的方法。比如说评估、求近似值等。这对于学习者的自我检验，以及建立信心极为重要。
最后，在数学运算阶段，教师需要明白规则的学习不是了解，也不是掌握，而是自动化。练习是实现自动化最好的方法，教师需要通过间隔练习，或是各种竞争游戏等来实现运算的自动化。