五诱导函数的几何表示法（第2页）

我想，倘若你要挑剔的话，一定捉到了一个漏洞！不是吗？图上画出的明明是一条直线，为什么在前面我们却亲切地叫它曲线呢？但是，朋友！一个人终归能力有限，写说明的时候，那图的影儿还不曾有一点，哪儿会知道它是一条直线呀！若是画出图来是一条直线，便返回去将说明改过，现在看来，好像我是“未卜先知”了，成什么话呢？

我们说是曲线的变成了直线，这只是特别的情形，说到特别，朋友！我告诉你，接下来要举的例子，真是特别得很，它不但是直线，而且和水平线OH以及垂直线OV所成的角还是相等的，恰好45度，就好像你把一张正方形的纸对角折出来的那条折痕一般。

原来是要讲切线的，话却越说越远了，现在回到本题上面来吧。为了确定切线的意义，先设想一条曲线C，在这曲线上取一点P，接着过P点引一条割线AB和曲线C又在P′点相交。

请你将P′点慢慢地在曲线上向着P点这边移过来，你可以看出，当你移动P′点的时候，AB的位置也跟着变了。它绕着固定的P点，依着箭头所指的方向慢慢地转动。到了P′点和P点碰在一起的时候，这条直线AB便不再割断曲线C，只和它在P相交了。换句话说，就是在这个时候，直线AB变成了曲线C的切线。

再用到我们的水平线OH和垂直线OV。

设若曲线C表示一个函数。我们若是能够算出切线AB和水平线OH所夹的角，或是说AB对于OH的倾斜率，以及P点在曲线C上的位置。那么，过P点就可以将AB画出了。

呵，了不起！这么一来，我们又碰到难题目了！

怎样可以算出AB对于OH的倾斜率呢？

朋友，不要慌！你去问造房子的木匠去！你去问他，怎样可以算出一座楼梯对于地面的倾斜率。

你一时找不着木匠去问吧？！那么，我告诉你一个法子，你自己去做。

你拿一根长竹竿，到一堵矮墙前面去。比如那矮墙的高是2米，你将竹竿斜靠在墙上，竹竿落地的这一头恰好距墙脚4米。

这回你已经知道竹竿靠着墙的一点离地的高和落地的一点距墙脚的距离，它们的比恰好是：24=12这个比值就决定了竹竿对于地面的倾斜率。

假如，你将竹竿靠到墙上的时候，落地的一头距墙脚2米，就是说恰好和靠着墙的一点离地的高相等。那么它们俩的比便是：22=1

你应该已经看出来了，这一次竹竿对于地面的倾斜度比前一次陡。

假如我们要想得出一个14的倾斜率，竹竿落地的一头应当距墙脚多远呢？

只要使这个距离等于那墙高的4倍就行了。倘若你将竹竿落地的一头放在距墙脚8米远的地方，那么，28=14恰好是我们所想求的倾斜率。

总括起来，简单地说，要想算出倾斜率，只需知道“高”和“远”的比。

快可以得出一个结论了，让我们先把所有要用来解答这个切线问题的材料集拢起来吧。第一，作一条水平线OH和一条垂直线OV；第二，画出我们的曲线；第三，过定点P和另外一点P′画一条直线将曲线切断，就是说过P和P′画一条割线。

先不要忘了我们的曲线C是用下面一个已知函数表示的：

y=f（x）

设若相应于P点的x和y的值是x和y，相应于P′点的x和y的值是x′和y′。从P画一条水平线和从P′所画的垂直线相交于B点。我们先来决定割线PP′对于水平线PB的倾斜率。

这个倾斜率，和我们刚才说过的一样，是用“高”P′B和“远”PB的比来表示的，所以我们得出下面的式子：

到了这一步很清楚，我们所要解决的问题是：“用来表示倾斜率的比，能不能由曲线函数的帮助来计算呢？”

看着图来说话吧。由上图我们可以很容易地看出来，水平线PB等于x′和x的差，而“高度”P′B等于y′和y的差。将这相等的值代进前面的式子里面去，我们就得出：

跟着，来计算P点的切线的倾斜率，只要在曲线上使P′和P挨近就成了。

P′挨近P的时候，y′便挨近了y，而x′也就挨近了x。这个比y′　?yx′　?x跟着P′的移动渐渐发生了改变，P′越近于P，就越近于我们所要找到表示P点的切线的倾斜率的那个比。

要解决的问题总算解决了。总结一下，解答的步骤是这样：

知道了一条曲线和表示它的一个函数，那曲线上的任一点的切线的倾斜度就可以计算出来。所以，通过曲线上的一点，引一条直线，若是它的倾斜率和我们已经算出来的一样，那么，这条直线就是我们所要找的切线了！

说起来啰里啰唆的，好像很麻烦，但实际上要去画它，并不困难。即如我们前面所举的例子，设若y′很近于y，x′也很近于x，那么，这个比y′　?yx′　?　x跟着便很近于12了。因在曲线上的P点，那切线的倾斜率也就很近于12。我们这里所说的“很近”，就是使得相差的数无论小到什么程度都可以的意思。