四无限小的变数诱导函数（第2页）

再举个例来说，假如有两支同样的矢，其中一支用了比另一支快一倍的速度飞动。在它们正飞着的空隙，照芝诺想来，每一刹那它们都是静止的，而且无论飞得快的一支或是慢的一支，两支矢的“静止情形”也没有一点儿区别。

在芝诺的脑子里，快的一支和慢的一支的速度，无论在哪一刹那都等于零。

但是，我们已经看明白了，要想求出一个速度的精准值，必须要用到“无限小”的量，以及它们的相互关系。上面已经讲过，这种关系是可以有一个一定的极限的。而这个极限呢，又恰巧可以表示出我们所设想的一刹那时间的速度。

所以，在我们的脑海里，和芝诺就有点儿不同了！那两支矢在一刹那的时间，它们的速度并不等于零：每支都保持各自的速度，在同一刹那的时间，快的一支的速度总比慢的一支的速度大一倍。

把芝诺的思想，用我们的话来说，得出这样一个结论：他推证出来的好像是两个无限小的量，它们的关系必须等于零。对于无限小的时间，照他想来，那相应的距离总是零，这你会觉得有点儿可笑了，是不是？但这也不能全怪芝诺，在他活着的时候，什么极限呀、无限小呀，这些观念都还没有规定清楚呢。速度这东西，我们把它当作距离和时间的一种关系，所以在我们看来，那飞矢总是动的。说得明白点儿，就是：在每一刹那，它总保持一个并不等于零的速度。

好了！关于芝诺的话，就此停止吧！我们来说点儿别的吧！

你学过初等数学，是不是？你还没有全忘掉吧！在这里，就来举一个计算诱导函数的例子怎么样？先选一个极简单的运动法则，好，就用你的弟弟在大门外爬的那一个例子：

无论在哪一刹那t，最后他所爬的距离总是：

我们就来计算你的弟弟在地上爬时，这一刹那的速度，就是找空间d对于时间t的诱导函数。设若有一个极小极小的时间间隔Δt，就是说刚好接连着t1的一刹那t1+Δt，在这时候，那运动着的点，经过了空间Δd，它的距离就应当是：

这个小小的距离Δd，我们要用来做成这个比?d?t的，所以我们可以?t先把它找出来。从（3）式的两边减去d1便得：

但是第（2）式告诉我们说d1=5t1，将这个关系代进去，我们就可以得到：

在时间Δt当中的平均速度，前面说过是?d?t，我们要找出这个比等?t于什么，只需将Δt除前一个式子的两边就好了。从这个例子（?d）看来，无论Δt怎样减小，总是一个常数。因此，?t即使我们将Δt的值尽量地减小，到了简直要等于零的地步，那速度V的值，在t1这一刹那，也是等于5，也就是诱导函数等于5，所以：

这个式子表明无论在哪一刹那，速度都是一样的，都等于5。速度既然保持着一个常数，那么这运动便是等速的了。

不过，这个例子是非常简单的，所以要求出它的结果也非常容易。至于一般的例子，那就往往很麻烦，做起来并不像这般轻巧。

就现实的情形说，d=5t这个运动法则，明明指出运动所经过的路程（比如用米做单位）总是运动所经过的时间（比如用分钟做单位）的五倍。一分钟你的弟弟在地上爬五米，两分钟便爬了十米，所以，他的速度总是等于每分钟五米。

再另外举一个简单的运动法则来做例，不过它的计算却没有前一个例子简便。假如有一种运动，它的法则是：

依照这个法则，时间用秒做单位，空间用米做单位。那么，在2秒钟的结尾，它所经过的空间应当是4米；在3秒钟的结尾，应当是9米……照样推下去，米的数目总是秒数的平方。所以在10秒钟的结尾，所经过的空间便是100米。

还是用空间对于时间的诱导函数来计算这运动的速度吧！

为了找出诱导函数来，在时间t的任一刹那，设想这时间增加了很小一点儿Δt。在这Δt很小的一刹那当中，运动所经过的距离e也加上很小的一点儿Δe。从（1）式我们可以得出：

现在，我们就可以从这个式子中求出Δe和时间t的关系了。在（2）式里面，两边都减去e，便得：

&2，将这个值代进去：

到了这里，我们将式子的右边简化。这，第一步就非将括号去掉不可。朋友！你也许忘掉了吧？我问你，（t+Δt）2去掉括号应当等于什么？想不上来吗？我告诉你，它应当是：

所以（3）式又可以照下面的样子写：

式子的右边有两个t2，一个正一个负恰好消去，式子也更简单些：

接着就来找平均速度?e?t，应当将Δt去除（4）式的两边：

现在再把式子右边的两项中分子和分母的公因数Δt抵消，只剩下：

倘若我们所取的Δt真是小得难以形容，简直几乎就和零一样，这就可以得出平均速度的极限：

于是，我们就知道在t刹那时，速度v和时间t的关系是：

你把这个结果和前一个例子的结果比较一下，你总可以看出它们俩有些不一样吧！最明显的，就是前一个例子的v总是5，和t没有一点儿关系。这里却没有那么简单，速度总是时间t的两倍。所以恰在第一秒的间隔，速度是2米，但恰在第二秒的一刹那，却是4米了。这样推下去，每一刹那的速度都不同，所以这种运动不是等速的。