八棕榄谜（第4页）

（2）三组字的

三组字的取法共是7C3，将每种和花色中的任一组相配就成了四组，而花色中共是24组，所以这种的总数是：7C3×24C1=35×24=840

（3）二组字的

二组字的取法共是7C2，将花色组和它配成四组，这有两种办法：

（a）两组花色相同的（同是香皂或牙膏或皂珠）：只需在二组花色的取法中，任用一种相配合。而两组花色相同的取法共是6+11+6+10+6+10=49，所以配合的总数是：

7C2×49C1=21×49=1029

（b）两组花色不同的：这就是说在香皂、牙膏、皂珠中，任从两种中各取一组和两组字相配合。第一步，从三种中任取二种的方法共是3C2。而每一项取法中，各种取一组的方法都是8C1，因此配成两组的方法是8C1×8C1，由此便可知道总共的配搭法是：

（4）一组字的

一组字的取法共是7C1，需将三组花色同它们配合，这便有三种配合法：

（a）三组花色相同的：三组花色相同的取法共是7+3+6+1+6+1=24，在这24种中任取一组和任一组字配合的方法是：

7C1×24C1=7×24=168

（b）两组花色相同的：若是从香皂中取两组，在牙膏或皂珠中取一组，配合的方法都是17C1×8C1，所以共是17C1×8C1×2。但若从牙膏中取两组，而在香皂或皂珠中取一组，配合的方法都是16C1×8C1，所以共是16C1×8C1×2。从皂珠中取两组的配法自然也是16C1×8C1×2，由此，这一类花色的取法共是：

将这中间的任一种和任一组字配合就成为四组，而配合法共是：

（c）三组花色不同的：这只能从香皂、牙膏、皂珠中各取一组而配合成三组，所以配合法只有8C1×8C1×8C1，再同一组字相配的方法是：

（5）无字组的：这一种里面，我们又可依照含香皂组数的多少来研究。

（a）四组香皂的：前面已经说过这只有1种。

（b）三组香皂的：香皂的取法是10种，每一种都可以同一组牙膏或皂珠配合，而牙膏和皂珠取一组的方法是16C1，所以总共的配合法是：

（c）两组香皂的：这有两种配合法：（Ⅰ）是同两组牙膏或皂珠相配；（Ⅱ）是牙膏和皂珠各一组相配。（Ⅰ）的配合法共是17C1×16C1×2。（Ⅱ）的配合法是17C1×8C1×8C1，所以总共是：

（d）一组香皂的：这也有两种配合法：（Ⅰ）同三组牙膏或皂珠相配；（Ⅱ）同两组牙膏、一组皂珠或一组牙膏、两组皂珠相配。（Ⅰ）的配合法是8C1×7C1×2。（Ⅱ）的配合法是8C1×16C1×8C1×2，所以总共是：

（e）没有香皂的：这有三种配合法：（Ⅰ）三组牙膏一组皂珠配合法是7C1×8C1。（Ⅱ）两组牙膏两组皂珠，配合法是16C1×16C1。（Ⅲ）一组牙膏三组皂珠，依同理配合法是8C1×7C1，所以总共是：

到了这里我们可以算一笔四组配合法的总账，这不用说是一个小学生都会算的加法。虽然如此，还得写出来：

35+840+1029+4032+168+5488+3584+1+160+1632+2160+368=1，9497到这里百尺竿头，只差一步了。在这19497种中各将一个对子配上去，便成了和牌。

十

就所有材料说，总共有11个对子，倘使材料可以自由使用，因为每一种四个三张组同一对相配都成一副和牌，所以总数应当是：

然而这214467副牌中有些又是不可能的了。含着某一种三同色组的，那一色的对子便没有。而含有香皂“五六七”“六七八”“七八九”中的一组的，香皂七的对子也没有了。这么一想，配对子上去也不是一件简单的事呀。因为这个原因，计算配对子的方法还得像前面一样分别研究。字的变化比较少而且规则单纯，所以仍然以含字组的数目为标准来分类。

（1）四组字的

在这一种里面，因为用了四种字，所以每副只有3个字对子可配合，但4种花色对子却全可配上去。因此每种都有7个对子可配而成七副和牌，总共可成的和牌数便是：

（2）三组字的

这一种里面，因为用了三种字，所以字对子每副只有4个可配，而花色对子的配合法比较复杂，得另找一个头绪计算。单就配字对子的说，总数是：

凡是含有香皂或牙膏或皂珠的三同色组的，那一种花色的对子便不能有，所以每副只有3个花对子可配合。而含三字组同着一组花色三同色组的，共是7C3×3，因此可成功的和牌数是：

凡不含香皂、牙膏和皂珠的三同色组的，一般说来，每副都有4个花色对子可配；只有含香皂“五六七”“六七八”“七八九”三组中的一组的，少了一个香皂的对子七。花色的三连续组取一组的方法共是21C1和字三组的配合法便是7C3×21C1，将花色对子分别配上去的总数是7C3×21C1×4，而内中有7C3×3C1种是含有香皂七的，少一对可配的对子，所以这一种能够配成和牌的数目是：

（3）二组字的

这一种里面，依前面所说过的同一理由，每一副有5个字对子可配合，这样配成的和牌的数目是：

对于花色对子的配合，因为所含花色的三只组的情形不同，可分成以下三项：

（a）含一组香皂或牙膏或皂珠的三同色组的，一般来说有3个花色对子可配，而三只组的配合法是：（Ⅰ）两组花色相同的7C2×18C1。（II）两组花色不同的7C2×1×7C1×3C2，总共就是7C2×18C1+7C2×1×7C1×3C2，将3个花色对配上去，共是：

不过含有香皂七的，依然少一对可配合，应当从2457中将这个数减去。而它是7C2×3C1×3C1=189，这里第一个3C1是花色中三同色组取一组的方法。第二个3C1是香皂中的“五六七”“六七八”“七八九”三个三连续组取一组的方法，所以这一项总共可成的和牌数是2457-189=2268。

（b）含两组香皂、牙膏、皂珠三同色组的，每副只有2个花色对子可配合，可成的和牌数是：7C2×3C2×2=126