八棕榄谜（第3页）

因为是3个一组，所以最前面便有（3-1）个没有前面的数供它们连上去。

由这个公式，9个连续的自然数中，要取3个连续数的方法便是：

9?3?1=9?2=7

上面的公式推到一般去，就是从n个连续的自然数中取m个连续数的方法，总共是：

n?m?1=n?m+1

七

照前面计算的结果，三张组总共是31组，对子组总共是11组，而一副和牌所包含的是四个三张组和一个对子组。我们很容易想到只要从31组三张组中取出4组，再从11组对子组中取出1组，两相配合，便成一副和牌。而三张组的取法共是31C4，对子组的取法共是11C1。因为两种取法中的任何一种都可以同其他一种中的任何一种配合，所以总数便是：

然而这个数目太大了，因为这些配合法就所绘的材料来说有些是不可能的。从31组三张组中取4组的总数是31C4，但因为材料的限制，实际上并不能这么自由。比如取了香皂的三同色组，则它的三连续组中的“一二三”这一组就没有了；若取了三连续组中的“一二三”这一组，则“二三四”和“三四五”这两组也没有了。还有将对子配上去，也不是尽如人意的事，既取了某一种的三同色组，则那一色的对子组便没有了；又如取了香皂的“五六七”或“六七八”或“七八九”，则香皂“七”的对子组也就没有了。

从上面所得的346115种中减去这些不可能的数，那么便是我们所要求的了。然而要找这个减数，依然很繁杂。

还有别的方法吗？

八

为了避去不可能的取法，我们试就各种花色分开来取，然后再相配成四组。

（1）字：这类的三张组总共是7组，所以取一组、二组、三组、四组的方法相应地是：

（2）花色：

这个表中只取一组的数目是用不到计算就可知道的，取二组的数目两项的计算法如下：

（a）含三同色组的：本来一种花色只有一组三同色组，所以只需从三连续组中任取一组同它配合便可以了。不过7组当中有一组是含一（香皂和皂珠）或九（牙膏）的，因为一或九已用在三同色组中，不能再有。因此只能在6组中取出来配合，而得1×6C1=6。

（b）不含三同色组的：

就香皂说，分别计算如下：

（Ⅰ）含“一二三”组的：这只能从四、五、六、七、八、九6个连续的自然数中任取一个三连续组同它配合，依前面的公式得6-3+1=4。

（Ⅱ）含“二三四”组的：照同样的理由共5-3+1=3。

（Ⅲ）含“三四五”组的：4-3+1=2。

（Ⅳ）含“四五六”组的：和（I）中相同的不算，共是3-3+1=1。

（Ⅴ）含“五六七”组的：和上面相同的不算，只有“七八九”一组和它相配，所以也是1。

五项合计就得4+3+2+1+1=11。

但就牙膏和皂珠说，（Ⅴ）这一组是没有的，因此只有10组。

取三组的计算法，根据取二组的数目便可得出：

（a）含三同色组的：就香皂说，取（Ⅱ）到（Ⅴ）各组中的任一组和三同色组配合便是，所以总数是7。在牙膏或皂珠中因为缺少（Ⅴ）这一项，所以总数只有6。

（b）不含三同色组的：就香皂说，可分为几项，如下：

（Ⅰ）含“一二三”组的：只有前面的（Ⅳ）和（Ⅴ）中各组相配合，所以总数是2。

（Ⅱ）含“二三四”组的：只有前面的（Ⅴ）可配合，所以总数是1。

两项合计便是3。

但就牙膏或皂珠说，都只有“一二三”“四五六”“七八九”1种。

至于四组的取法，这很容易明白，用不到计算了。

九

依照雀牌的规则，一副和牌含有四组三张组，我们现在的问题便成了就前面所列的各种组别来相配。为了便于研究，用含有字组的多少来分类，这比较容易明白。

（1）四组字的

这一种很容易明白就是：7C4=35