三总体方差σ2未知对总体平均数的估计（第1页）

三、总体方差σ2未知，对总体平均数的估计

解：①利用公式7-2，求标准误差

②求0。95的置信区间

当n1=10时，df1=9，查t值表得t0。052=2。262

78-2。262×2。67＜μ＜78+2。262×2。6771。96＜μ＜84。04

当n2=36时，df2=35，查t值表得t0。052=2。042（因t值表中没有df=35的表列值，一般为使推论更有把握，用较小的自由度取近似值，本例中取df=30）

79-2。042×1。52＜μ＜79+2。042×1。52

75。9＜μ＜82。1

答：计算结果表明，据第一组样本估计的总体参数μ有95%的可能性落在71。96～84。04之间。据第二组样本估计的总体参数μ有95%的可能性落在75。9～82。1之间。作出这样的结论，估计正确的概率为0。95，错误的概率为0。05。

在这道题目中，两样本的n大小不等，估计的区间长度不同。显然，样本较大的置信估计具有更大优越性：置信区间长度小，样本更接近μ。由于n＞30时t值分布渐近正态分布，故亦可用Zα2代替tα2作近似计算，也可免去查表的麻烦。在【例7-3】中，样本数为35的这一组置信区间的结果就变为76＜μ＜82，与用t0。052（35）计算的结果相差甚微。另外，总体方差未知时，查t值表所求总体参数μ的置信区间的解释，与正态分布的解释也相同。

【例7-4】某班49人期末考试成绩为85分，标准差s=6，假设此项考试能反映学生的学习水平，试推论该班学生学习的真实成绩分数。

解：此题属于方差未知，分数分布难以保证正态，但n＞30。可以进行计算，并能够推论。

查t0。052（40）=2。021（取df=40的值，因为表中无df=48的t0。052值）

0。95的置信区间为：85±2。021×0。866=83。25～86。75

答：该班学生的真实成绩在83。25～86。75之间，作此结论正确的概率为0。95，错误的概率为0。05。

【例7-4】也可取0。99的置信区间，这根据实际需要而定。在实际应用中，【例7-4】的情况要比【例7-2】的情况较多出现。故方差未知情况的区间估计是经常用到的一种统计分析方法。