第49章 六分钟搞定两道解答题监考老师感觉几十年数学白学了（第1页）

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【第一题（45分）】

【设n为正整数，a?，a?，…，a_n为实数，满足∑_{i=1}^na_i=0且∑_{i=1}^na_i2=1。证明：对任意实数x，有∑_{i=1}^n（a_i-x）2≥n（n-1）。】

江辰看完题干，脑子里瞬间跳出三种解法。

解法一：直接用柯西不等式+均值不等式，三步搞定。

解法二：转化成二次函数最值问题，用判別式。

解法三：用拉格朗日乘数法（虽然超纲，但简洁）。

他选了第一种，提笔就写。

“由条件∑a_i=0，∑a_i2=1，则∑（a_i-x）2=∑a_i2-2x∑a_i+nx2=1+nx2。”

“需证1+nx2≥n（n-1），即nx2≥1（n-1）。”

“由柯西不等式：（∑a_i2）（∑12）≥（∑a_i）2，即n≥0，恆成立。但需另寻不等式……”

“考虑∑（a_i-ā）2=∑a_i2-nā2=1，其中ā=0，故∑a_i2=1已给出。”

“实际上，直接由∑（a_i-x）2=∑a_i2-2x∑a_i+nx2=1+nx2，当x=0时取最小值1，而需证1≥n（n-1）？不对，当n＞1时1＜n（n-1），故需调整思路……”

江辰停笔，重新看题。

哦，看错了。

不是证∑（a_i-x）2≥n（n-1），而是要证∑（a_i-x）2≥n（n-1）对任意x成立。

那更简单了。

“设f（x）=∑（a_i-x）2=nx2-2（∑a_i）x+∑a_i2=nx2+1（因为∑a_i=0）。”

“这是关於x的二次函数，开口向上，最小值为1（当x=0时）。”

“需证f（x）≥n（n-1）对任意x成立，即证最小值1≥n（n-1）？等等，1≥n（n-1）若且唯若n≤2……”

江辰皱了皱眉。

这题……有问题？

他仔细再读一遍题干。

然后他明白了。

“原来如此，是我理解错了。条件∑a_i=0，∑a_i2=1，但a_i是实数，可正可负。”

“要证的是∑（a_i-x）2≥n（n-1），即nx2+1≥n（n-1），也就是nx2≥1（n-1）。”

“这不是恆成立的，因为x可以取0。所以……题目隱含了x的取值范围？不对，题目说『对任意实数x，那这不等式就不成立。”

江辰陷入沉思。

三秒后，他反应过来。

“操，被出题人套路了。”

“这题的正確理解是：要证的是存在某个与{a_i}无关的常数c，使得∑（a_i-x）2≥c对任意x和任意满足条件的{a_i}成立，然后求c的最大值。”

“而c的最大值就是n（n-1）。”