8种群竞争模型（第1页）

。8种群竞争模型

1。　问题的提出

在自然环境中，生物种群丰富多彩，它们之间通常存在着或是相互竞争，或是相互依存，或是弱肉强食等这样的三种基本关系。本节将从稳定状态的角度，对具有如上提及的某种关系的两个种群的数量发展进行讨论。

设想有两个种群为了争夺有限的同一食物来源和生活空间时，从长远的眼光来审视，其最终结局是它们中的竞争力弱的一方首先被淘汰，然后另一方独占全部资源而以单种群模式发展，还是存在某种稳定的平衡状态，两个物种按照某种规模构成双方长期共存？

这里不妨将我们讨论的对象想象为生活在同一草原上的羚羊和老鼠。

2。　模型假设

以x1（t）、x2（t）表示处于相互竞争关系中甲、乙二种群在时刻t的数量．

（1）　资源有限，设其总量为1，Ni（i=1，2）分别表示甲、乙种群在单种群情况下自然资源所能承受的最大种群数量；

（2）　种群数量的增长率x′i（t）（i=1，2）与该种群数量xi（t）（i=1，2）成正比，同时也与有闲资源si（t）（i=1，2）成正比；

（3）　各种群在对所占据资源的利用上是不充分的，σi（i=1，2）分别表示甲、乙二种群对对方已占用资源的相对挑剔程度，通俗的讲，是在对方用过的盘子里捡“剩骨头”。比方，若σ1∈（1，2）时，表示在乙种群看来，甲种群是“奢侈的”，它可以在甲种群用过的盘子里捡到“剩骨头”，若σ11时，说明乙种群在食物选择上是“过分”挑剔的，或者可理解为，对于乙种群，甲种群在资源利用上对资源有破坏性；换一个说法，σi（i=1，2）反映了甲、乙二种群适应能力，σ1越小、σ2越大，则甲种群的相对适应能力越强；

（4）　ri（i=1，2）分别表示甲、乙二种群的固有增长率。

3。　模型建立

根据模型假设，可得如下数学模型：

x′1=r1·x1·S1

x′2=r2·x2·S2

s1=1－x1N1－σ1·x2N2

s2=1－σ2·x1N1－x2N2

经化简，得：

x′1=r1x1·（1－x1N1－σ1·x2N2）

x′2=r2x2·（1－σ2·x1N1－x2N2）

4。　模型求解与分析

模型方程的解没有解析表达式，我们的兴趣和目的是：当t充分大时，x1（t）、x2（t）的变化趋势怎样？利用平衡点的稳定性，对两种群的变化趋势可作出判断。令模型方程的右端项

r1·x1·（1－x1N1－σ1·x2N2）=0

r2·x2·（1－σ2·x1N1－x2N2）=0，

求解可得该模型的四个平衡点：

P1（0，0）、P2（N1，0）、P3（0，N2）、P41－σ11－σ1·σ2·N1，1－σ21－σ1·σ2·N2。