5多项式曲线预测模型（第1页）

。5多项式曲线预测模型

1。　一次多项式曲线（直线）预测模型

直线趋势模型的表达式为

y∧t=a+bt

经计算可知，该模型的一阶差分都为b，因此当时间序列的散点图近似于一条直线，或时间序列各期数据的一阶差分大致相等时，可用直线趋势预测模型对时间序列进行预测。

直线趋势模型相当于是以时间t作为解释变量的一元线性回归模型，因此估计模型中的系数a和b可用最小二乘法，这在第一节中已经讨论过了，公式如下：

b=n∑ni=1tiyi-∑ni=1ti∑ni=1yin∑ni=1t2i-∑ni=1ti2，a=1n∑ni=1yi-b1n∑ni=1ti

实际中，为了计算方便，通常把时间原点取在时间序列期数的正中间，即当时间序列有n=2m+1个数据时，取tm=0，上述公式中ti依次为-m，-（m-1），…，-1，0，1，…，m-1，m；当有n=2m个数据时，ti依次为-（2m-1），-（2m-3），…，-1，1，…，2m-1，2m-3。这样就有∑iti=0，上述公式就简化为

b=∑ni=1tiyi∑ni=1t2i，a=1n∑ni=1yi

例6。5已知某地区1999—2007年生产总值的资料如表65所示，试预测该地区2011年的生产总值。

表65某地区1999—2007年生产总值统计表单位：亿元

年份199920002001200220032004200520062007

生产总值505659646872778186

图62某地区生产总值的散点图（1999—2007）

解：该时间序列的散点图近似呈一条直线，且各期数据的一阶差分大致相等（见表66第三列），故建立直线趋势模型：y∧t=a+bt。由表65，可知∑yi=613，∑t2i=60，∑yiti=263，从而

b=∑ni=1tiyi∑ni=1t2i=26360=4。38，a=1n∑ni=1yi=6139=68。11

所以y∧t=68。11+4。38t。将2011年对应的时间t=8代入趋势模型，即可得到该地区2011年生产总值的预测值为y∧2011=68。11+4。38×8=103。15亿元。

表66直线趋势模型预测法计算表

年份生产总值yi一阶差分Δyi时间tit2iyiti

199950—-416-200

2000566-39-168

2001593-24-118

2002645-11-64

（续表）

年份生产总值yi一阶差分Δyi时间tit2iyiti

2003684000

20047241172

200577524154

200681439243

2007865416344

合计613—060263

2。　二次多项式曲线（抛物线）预测模型

二次抛物线趋势模型的表达式为

y∧t=b0+b1t+b2t2

经计算可知，该模型的二阶差分都为2b2，因此当时间序列各期数据的二阶差分大致相等，或时间序列的散点图近似于一条由高而低再高或由低而高再低的曲线时，可用二次抛物线趋势预测模型对时间序列进行预测。