1导数的概念（第1页）

。1导数的概念

事物都处于运动变化之中，有着广泛意义的问题是需要研究事物变化的快慢程度，即函数的变化率问题，本节重点在于认识微积分的关键概念——导数，包括导数的定义、几何意义、可导与连续的关系等。

一、　变化率问题的实例

引例211求变速直线运动的瞬时速度。

设有一质点做变速直线运动，其运动方程为s=s（t），求质点在t=t0时的瞬时速度v（t0）。图211

如图211所示，当时间由t0改变到t0+Δt时，记t=t0时质点的位置坐标为s0=s（t0）。当t从t0增加到t0+Δt时，s相应地从s0增加到s0+Δs=s（t0+Δt）。因此，质点在Δt这段时间内的位移是Δs=s（t0+Δt）－s（t0）。

质点在t0+Δt这段时间内的平均速度为=ΔsΔt=s（t0+Δt）－s（t0）Δt。

由于质点速度是连续变化的，在Δt时间内速度变化不大，因此，瞬时速度v（t0）可以近似地用平均速度代替，即v（t0）≈=s（t0+Δt）－s（t0）Δt。

Δt越小，就越接近瞬时速度v（t0），由极限思想，当Δt→0时，ΔsΔt的极限为v（t0），即：v（t0）=limΔt→0ΔsΔt=limΔt→0=limΔt→0s（t0+Δt）－s（t0）Δt。引例212求平面曲线的切线方程。

如图212所示，已知C:y=f（x），M0（x0，y0）为C上一点，求M0处的切线的斜率。

图212

在M0附近任取C上一点M（x0+Δx，y0+Δy），则割线M0MkM0M=ΔyΔx=f（x0+Δx）-f（x0）Δx。当Δx→0时，点M沿曲线0转动，割线M0M不断地趋向于切线M0T，由极限思想，我们知道割线M0M的极限位置是切线M0T。

如果kM0M=ΔyΔx趋向于某个极限，则极限值就是曲线在M0处切线的斜率k，设切线的倾斜角α，所以曲线y=f（x）在点M0处的切线斜率为k=tanα=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）－f（x0）Δx。上述两个引例从抽象的数量关系来看，有一个共性，即所求量为函数增量与自变量增量之比的极限。我们在数学上进行抽象以后，就得到了函数导数的定义。

二、　导数的定义

1。　一点处导数的定义

定义211设函数y=f（x）在点x0及其附近有定义，当自变量x在从x0变化到x0+Δx时，函数f（x）有相应的增量Δy=f（x0+Δx）－f（x0），若极限limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）－f（x0）Δx存在，则称函数y=f（x）在点x0处可导，极限值称为函数y=f（x）在点x=x0处的导数，记为f′（x0），即f′（x0）=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f（x0+Δx）－f（x0）Δx。若极限limΔx→0ΔyΔx不存在，则称函数y=f（x）在点x0处不可导。

我们也可以把导数f′（x0）记为y′x=x0或dydxx=x0或df（x）dxx=x0。

导数定义中，若令x=x0+Δx或h=Δx，则导数定义式又有另外的形式:f′（x0）=limx→x0f（x）－f（x0）x－x0或f′（x0）=limh→0f（x0+h）－f（x0）h。因变量增量与自变量增量之比ΔyΔx表示因变量y=f（x）在区间［x0，x0+Δx］上的平均变化率，而f′（x0）则是f（x）在点x0处的（瞬时）变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢程度。

根据导数的定义，引例中，位移s=s（t）对时间t的导数s′（t0）是t0时刻的速度；f′（x0）是曲线y=f（x）在（x0，f（x0））点的切线斜率。

例211已知函数f（x）=x2，求f′（1）　。

解f′（1）＝limΔx→0f（1+Δx）－f（1）Δx=limΔx→0（1+Δx）2－1Δx=limΔx→0（Δx+2）=2；

或f′（1）＝limx→1f（x）－f（1）x－1=limx→1x2－1x－1=limx→1（x+1）=2。

例212设f′（x0）=－3，求下列极限：

（1）　limΔx→0f（x0+2Δx）－f（x0）Δx；（2）　limh→0f（x0+h）－f（x0－h）h。

解（1）　limΔx→0f（x0+2Δx）－f（x0）Δx=2limΔx→0f（x0+2Δx）－f（x0）2Δx=2f′（x0）=－6。

（2）　limh→0f（x0+h）－f（x0－h）h=limh→0f（x0+h）－f（x0）+f（x0）－f（x0－h）h

=limh→0f（x0+h）－f（x0）h+limh→0f（x0－h）－f（x0）－h=2f′（x0）=－6。

2。　左右导数

前面我们有了左、右极限的概念，因此，我们可以给出左、右导数的概念。

定义212若极限limΔx→0－ΔyΔx或limΔx→0+ΔyΔx存在，则称f（x）在x0处左（或右）可导，且称极限值为f（x）在x0的左（或右）导数，记为f-′（x0）＝limΔx→0－ΔyΔx=limΔx→0－f（x0+Δx）－f（x0）Δx，

f+′（x0）＝limΔx→0+ΔyΔx=limΔx→0+f（x0+Δx）－f（x0）Δx。定理211f（x）在x0可导的充要条件为f-′（x0）和f+′（x0）存在且相等，如果函数f（x）在开区间（a，b）内可导，且f+′（a）和f-′（b）都存在，那么称f（x）在闭区间［a，b］上可导。

3。　导函数的定义

定义213如果函数y=f（x）在区间（a，b）内每一点x都对应一个导数值，则这一对应关系所确定的函数称为函数y=f（x）的导函数（或导数），记作y′，f′（x），dydx或df（x）dx，即y′=limΔx→0f（x+Δx）－f（x）Δx。显然，函数f（x）在点x0处的导数f′（x0）就是导函数f′（x）在点x=x0处的函数值，即f′（x0）=f′（x）x=x0。三、　基本初等函数的导数公式