5航空公司的预定票策略（第1页）

。5航空公司的预定票策略

1。　问题的提出

在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预定票业务。公司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票，无需附加任何费用。当然也可以订票时只订座，登机时才付款。但是，此种预定票业务在下面的两种情况下会给航空公司带来损失。

开展预订票业务时，对于一次航班，若公司限制预订票的数量恰好等于飞机的容量，那么由于总会有一些订了机票的乘客不按时前来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本。而如果不限制预订票数量，那么当持票按时前来登机的乘客数超过飞机容量时，必然会引起那些不能飞走的乘客的抱怨，公司不管以什么方式补救，也会导致声誉受损和一定的经济损失，如客源减少、挤掉以后班机的乘客、公司无偿供应食宿、付给一定的赔偿金等。

试建立数学模型在综合考虑经济利益和社会声誉两个因素来研究预订票数量的最佳限额。

2。　问题分析

公司的经济利益可以用机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润来衡量，社会声誉可以用持票按时前来登机，但因满员不能飞走的乘客（以下称被挤掉者）限制在一定数量为标准。

注意到经济利益和社会声誉均可表示为以不按时来的乘客数作为自变量的函数，而预订票的乘客是否按时前来登机是随机的，所以不按时来的乘客数是随机变量，即经济利益和社会声誉两个指标都应该在统计平均意义下衡量。

综上，这是个双目标优化问题，决策变量是预订票数量的限额。

3。　模型假设

（1）　飞机容量为常数n，飞行费用为常数r，r与乘客数量无关（实际上关系很小），机票价格g为常数，且按照g=rλn来制订，其中λ（n），每位乘客不按时前来登机的概率为p，各位乘客是否按时前来登机相互独立;

（3）　每位被挤掉者获得的赔偿金为常数b。

4。　模型的建立与求解

（1）　公司的经济利益指标

设预订票数量的限额为m情况下，预订票后不按时来的乘客数为X，由假设2易知X服从二项分布，即X~B（m，p），则机票收入扣除飞行费用和赔偿金后的利润可表示为X作为自变量的函数形式

g（X）=（m－X）g－r，m－X≤n

ng－r－（m－X－n）b，m－Xn（4。16）

所以平均利润为E（g（X））=ΔS（m），即

S（m）=∑m－n－1k=0［（ng－r）－（m－k－n）b］P（X=k）+

∑mk=m－n［（m－k）g－r］P（X=k）（4。17）

其中P（X=k）=Ckmpkqm－k，q=1－p。

由概率论知识有∑mk=0P（X=k）=1，∑mk=0kP（X=k）=E（X）=mp成立，所以易得

S（m）=qmp－r－（g+b）∑m－n－1k=0（m－k－n）P（X=k）（4。18）

当n、g、r和P（X=k）给定后可以求m使S（m）最大。

（2）　公司的社会声誉指标

综合考虑社会声誉和经济利益两方面，应该要求被挤掉的乘客不要太多，而由于被挤掉者的数量是随机的，可以用被挤掉的乘客数超过若干人的概率作为度量指标。记被挤掉的乘客数超过j人的概率为Pj（m），因为被挤掉的乘客数超过j人，等价于m位预定票的乘客中不按时前来登机的不超过m－n－j－1人，所以

Pj（m）=∑m－n－j－1k=0P（X=k）（4。19）

对于给定的n，j，显然当m=n+j时不会有被挤掉的乘客，即Pj（m）=0。而当m变大时Pj（m）单调增加。

综上，这是一个双目标优化问题，且分别以S（m）和Pj（m）作为两个目标函数，但是可以将Pj（m）不超过某给定值作为约束条件，以S（m）为单目标函数来求解。

5。　模型求解

为了减少S（m）中的参数个数，取S（m）除以飞行费用r为新的目标函数J（m），其含义是单位费用获得的平均利润，注意到假设1中有g=rλn，由（4。17）可得