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。5人口增长模型

人类文明发展到今天，人们越来越意识到地球资源的有限性，我们感受到“地球在变小”，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为当前世界上被最普遍关注的问题之一，当然人口增长规律的发现以及人口增长的预测对一个国家制定比较长远的发展规划有着非常重要的意义。本节介绍几个经典的人口模型。

模型一人口指数增长模型（马尔萨斯Malthus，　1766—1834）

1。　模型假设

（1）　时刻t人口增长的速率，即单位时间人口的增长量，与当时人口数成正比，即人口增长率为常数r。

（2）　以P（t）表示时刻t某地区（或国家）的人口数，设人口数P（t）足够大，可以视做连续函数处理，且P（t）关于t连续可微。

2。　模型建立及求解

据模型假设，在t到t+Δt时间内人口数的增长量为

P（t+Δt）－P（t）=r·P（t）·Δt，

两端除以Δt，得到

P（t+Δt）－P（t）Δt=r·P（t），

即，单位时间人口的增长量与当时的人口数成正比。

令Δt→0，就可以写出下面的微分方程

dPdt=r·P

如果设t=t0时刻的人口数为P0，则P（t）满足初值问题

图31人口增长图

dPdt=r·P

P（t0）=P0（3。9）

下面进行求解，重新整理模型方程（3。9）的第一个表达式，可得

dPP=r·dt

两端积分，并结合初值条件得

P（t）=P0er（t－t0）。

显然，当r0时，此时人口数随时间指数地增长，故模型称为指数增长模型（或Malthus模型）。如下图31　所示。

3。　模型检验

（1）　19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好的吻合。19世纪以后的许多国家，模型遇到了很大的挑战。

（2）　注意到limt→∞P（t）=limt→∞P0er（t－t0）=+∞，而我们的地球是有限的，故指数增长模型（Malthus模型）对未来人口总数预测非常荒谬，不合常理，应该予以修正。