第2章 深夜挑灯智破难题关（第1页）

灯亮了。秦天坐回桌前，手指按在数学书翻开的那一页。题目还是一样的字，可看着它们，脑子里像有两股力气在拉扯。一边是白天学过的方程解法，另一边是眼前这道题里绕来绕去的人和车。他盯着“某校组织学生乘车外出活动”这几个字，看了三遍。不是不认识，是不知道从哪儿下手。笔尖点在纸上，没动。他想起刚才喝下的那碗面汤，热乎劲儿早就没了，手心有点凉。他搓了搓手指，重新捏紧笔杆。先读一遍题。每辆车坐45人，15人没位置；换成每辆坐60人，又多出一辆车。问总人数和车数。两个情况，一个结果。人数不变，车数变了，座位安排也变了。他闭上眼，把这两句话在脑子里拆开。就像之前对付那道3x－7＝2x＋5一样，一步一步来。等量关系……对，老师讲过这个词。两边相等的东西，才能列成方程。那这里什么是相等的？人数是固定的。不管怎么分，人都那么多。所以第一种情况：实际人数=45x车数+15第二种情况呢？多出一辆车，说明用的车少了。如果原来有x辆车，现在只用了x－1辆就够了。那人数就是60x（x－1）两个都等于人数，那就让它们互相等于。他睁开眼，在草稿纸上写下：设车有x辆，人有y个。y=45x+15y=60（x-1）写完这两个式子，他停了一下。这跟之前做的不一样了。以前只有一个未知数，现在冒出来两个。但他记得，只要能消掉一个，就能解出来。既然两个都等于y，那就把右边的部分连起来：45x+15=60（x-1）接下来就是展开右边。60乘进去，得60x-60左边还是45x+15移项。把45x移到右边，变成减；把-60移到左边，变成加。15+60=60x-45x75=15xx=5车是5辆。带回第一个式子算人数：45x5=225，再加15，等于240。他停下来，翻回头再看题。5辆车，每辆45人，能坐225人，但有240人，差15个座——对上了。换成每辆60人，240人除以60，刚好4辆车就够。比原来的5辆少一辆——也对上了。他呼出一口气，肩膀松了一点。成了。他低头看着自己写的步骤，忽然觉得没那么难了。刚才是卡在“多出一辆车”这句话上，以为车变多了，其实是用得少了。想通这点，整个题就打开了。他拿起笔记本，翻到新的一页，写下几个大字：“应用题三步法”。下面画了三条横线。第一条：找谁和谁相等。第二条：设x和y，哪个方便设哪个。第三条：列出来，解出来，再回头看看合不合理。他在最后补了一句：条件越多，越要慢慢拆，别急。写完这些，他合上本子，又翻回课本。下一道题跳出来：学校安排宿舍，若每间住6人，则多出一间空房；若每间住4人，则缺两间房。问有多少学生，多少宿舍？他看了一眼，嘴角动了一下。这不跟上一道差不多吗？也是两种分配方式，房间数固定，人也固定，只是安排不同导致结果不同。他直接动手。设宿舍有x间，学生有y人。第一种情况，住6人时多一间空房，说明只用了x－1间，所以y=6（x-1）第二种情况，住4人时缺两间，说明需要x+2间才够，也就是y=4（x+2）两个都等于y，那就：6（x-1）=4（x+2）展开左边：6x-6右边：4x+8移项：6x-4x=8+62x=14x=7宿舍7间。带回算人数：6x（7-1）=6x6=36人或者用另一种算：4x（7+2）=4x9=36，一样。再验题：7间房，每间住6人，最多能住42人，但只有36人，所以会空出一间——对。每间住4人，36人需要9间房，可只有7间，差两间——也对。他又解出来了。笔尖在纸上划完最后一个数字，他没放下笔。反而觉得脑子更清醒了。原来这种题是有套路的。不是靠猜，也不是靠背，而是把话一句句翻译成算式。说白了，就是换个说法讲同一件事。他翻到下一节，标题是《工程问题与效率计算》。第一道题：甲单独做一项工作要10天，乙单独做要15天，两人合作几天完成？，！他愣了一下。这个没见过。前面都是人数、车数、房间数，现在变成“做事情”。但他没慌。还是找等量关系。工作总量可以看成1。甲一天做十分之一，乙一天做十五分之一。他们一起干，就是每天做（110+115）他算了一下：通分后是330+230=530=16也就是说，每天完成六分之一。那做完全部，就是6天。他写下答案，心里踏实了。这也不难。关键是别被新名字吓住。叫什么“工程”“效率”，其实还是加减乘除的老把戏。他继续往下翻。下一道题：甲做三天后休息，剩下的由乙完成，问总共几天？他停下笔。这次不是一块整活了，是分段干。甲先干三天。甲一天做110，三天就是310还剩710要乙来做。乙一天做115，要做几天才能做完710？设乙需要x天。那么xx（115）=710两边同时乘15：x=（710）x15=（7x15）10=10510=105乙要105天。加上甲的3天，总共135天。他想了想，这种情况会不会出现小数？应该可以，时间本来就可以是半天。再验一遍：甲三天做310，乙105天做105÷15=105150=2130=710，加起来正好1。没问题。他轻轻敲了下桌子。这种题，看起来复杂，其实一步步拆开，每一步都很简单。他忽然觉得自己像是在闯关。一扇门锁着，钥匙藏在题目里。只要你愿意找，总能找到。他翻到下一题。题目说：一件衣服原价300元，先涨价20，再降价20，现价是多少？他看到“涨价”“降价”两个词，马上警惕起来。很多人会以为涨了又降，回到原价。但他知道，肯定不是。因为涨价是按原价算的，降价却是按涨价后的价格算的。先涨20：300x12=360元再降20：360x08=288元现价288，比原价还低了12块。他记起以前听人说过“先涨后降不一样”，现在自己算出来了。有意思。他继续翻。后面的题越来越长，图也多了起来。有表格，有流程图，还有画出来的水池进水管出水管。他遇到一道题：一个水池，进水管单独开要6小时灌满，出水管单独开要8小时排空。现在同时打开两个管子，几小时能灌满？他皱眉。这跟人干活还不一样。一个是往里加，一个是往外抽。那净速度就是进水减出水。进水每小时16，出水每小时18所以每小时净增加：16-18通分：424-324=124也就是说，每小时只能填满池子的二十四分之一。那填满就要24小时。他写完答案，心想：这效率太低了，还不如关掉出水管。但他知道，这就是题目的意思。让你看清真实情况。他抬头看了看灯。灯泡有点发黑，光线不如刚才亮。他伸手拨了一下电线，灯光晃了晃，又稳住了。他没管，继续翻书。后面还有行程问题：两个人从两地出发，相向而行，速度分别是每小时5公里和7公里，距离60公里，几小时相遇？他一眼看出：每小时靠近12公里，60除以12等于5小时。简单。再往后，追及问题：前面的人先走2小时，每小时4公里，后面的人骑车每小时12公里，几小时追上？先走的2小时走了8公里。每小时能缩短距离：12－4＝8公里8公里的距离，每小时追8公里，所以1小时追上。他也解了。他发现这些题都有规律。表面上五花八门，实际上核心就几个模型：总量相等、效率叠加、距离变化。只要记住怎么列式，剩下的就是算数。他越做越顺。笔尖在纸上沙沙响。草稿纸一张张堆起来，角落已经叠了厚厚一摞。他翻到下一页，看到一道新题：某商店卖两种文具，a种每支5元，b种每本8元。一名学生买了若干件，共花67元。已知他买的a种数量比b种多3件，问他各买了多少？他停下。这是第一次出现两个东西混着买。钱总数固定，数量有关联。设b种买了x件，则a种买了x＋3件。总价：5（x＋3）＋8x=67，！展开：5x+15+8x=6713x+15=6713x=52x=4b买了4件，a买了7件。验算：7x5=35，4x8=32，35+32=67，对。他又做出来了。笔尖顿了一下，他忽然笑了一声。很小的一声，没人听见。但他觉得自己像是打通了一层关卡。以前看到这种长题目就怕，现在居然能一口气看完，还能动手列式。他回头看了一眼之前的笔记。那些密密麻麻的字，一条条的方法，都是他自己一点点总结出来的。不是抄的，不是背的，是他自己想明白的。他拿起笔，继续翻页。下一道题出现在眼前：甲乙两人共有100元，甲给乙10元后，两人钱数相等。问原来各有多少？他眼睛一亮。这种题他好像在哪听过。设甲原来有x元，乙就有100－x元。甲给乙10元后：甲剩x－10，乙变成100－x＋10这时两人相等：x－10=100－x＋10整理：x－10=110－x两边加x：2x－10=110加10：2x=120x=60甲原来60，乙40。验证：甲给乙10元后，甲50，乙50，相等。对。他放下笔，伸了个懒腰。肩膀有点酸，脖子僵硬。但他不想停。他知道，这些题越往后越难，但他不怕。因为他已经找到了方法。不是靠运气，不是靠别人教，是他自己一步一步试出来的路。他翻到新的一页。题目是：一个三位数，百位数字是个位数字的两倍，十位数字比个位数字多1，且这个数除以它的各位数字之和，商为35，余数为2。求这个数。他看到这题，眉头皱了起来。信息太多了。三个条件，还要满足除法关系。他深吸一口气。开始拆。设个位是x，那百位就是2x，十位是x＋1这个数可以表示为：100x2x＋10x（x＋1）＋x=200x+10x+10+x=211x+10各位数字之和：2x＋（x＋1）＋x=4x＋1根据题意，这个数除以数字和，商35余2。所以：211x+10=35x（4x+1）＋2右边展开：140x+35+2=140x+37左边：211x+10列等式：211x+10=140x+37移项：211x-140x=37-1071x=27x=27÷71不是整数。错了。他停下来。x是个位数，必须是整数，而且不能大于4，否则百位2x就超过9了。可算出来x不是整数。哪里错了？他回头检查表达式。数是100x百位＋10x十位＋个位百位2x，十位x＋1，个位x所以是100x2x=200x10x（x＋1）=10x+10个位x加起来：200x+10x+10+x=211x+10，没错。数字和：2x+x+1+x=4x+1，没错。除法关系：被除数=除数x商＋余数所以211x+10=35x（4x+1）+2=140x+35+2=140x+37等式成立。211x+10=140x+3771x=27x=2771≈038不是整数，也不合理。他意识到——可能是题设矛盾，或者自己理解错了。他重新读题。“这个数除以它的各位数字之和，商为35，余数为2”有没有可能商不是35，而是别的意思？或者余数写错了？他突然想到：会不会是“商为25”？或者是“余数为12”？但题目写的是35和2。他再算一遍。或许x不能从1开始试？他决定试值。个位x只能是1到4之间的整数。试x=1：百位2，十位2，数是221。数字和2+2+1=5。221÷5=44余1，不符合。x=2：百位4，十位3，数432。数字和4+3+2=9。432÷9=48，整除，无余数。x=3：百位6，十位4，数643。数字和6+4+3=13。643÷13=49余6。x=4：百位8，十位5，数854。数字和8+5+4=17。854÷17=50余4。都不符合商35余2。他皱眉。难道题出错了？或者自己漏了条件？他再看一遍题。忽然注意到：“三位数”——有没有可能百位不能为零，但2x最大是8，没问题。等等。他想到一种可能：是不是“商为25”写成了“35”？印刷错误？但这是他借来的书，字迹清楚，确实是35。他放下笔。盯着那道题。屋外很静。他忽然说：“不对劲。”笔尖重新落回纸上。：（）小人物如何能跨越阶层