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第七章
一、实验误差分析的重要性
实验观测值和真值之间存在的差异称为误差。产生误差的原因有测试周围环境的影响，测量所用仪器或工具本身精度的限制，测试方法的不完善以及测试人员观察力和经验等的限制。为了提高实验的精度，缩小实验观测值和真值之间的差值，需要对实验数据误差进行分析和讨论。
随着科学水平的提高和人们经验、技巧和专门知识的丰富，实验中的误差可以逐渐缩小，但做不到使实验没有误差，误差始终存在于实验过程之中。
通过对实验误差进行分析，可以认清误差的来源及影响，使实验人员有可能预先确定导致实验总误差的最大组成因素，并设法排除数据中所包含的无效成分，进一步改进实验方案。实验误差分析也提醒实验人员注意主要误差来源，精心操作，使实验的准确度得以提高。
二、实验数据的有效数字及记数法
在实验过程中，测量结果或计算的量总是表现为数字，而这些数字就代表了欲测量的近似值。究竟对这些近似值应该取多少位数合适呢？对于这一问题，不是说一个数值中小数点后面位数越多就越准确。实验中从测量仪表上所读数值的位数是有限的，这取决于测量仪表的精度，其最后一位数字往往是仪表精度所决定的估计数字。例如某液面计标尺的最小分度为1mm，则读数可以到0。1mm。如在测定时液位高度在刻度524mm与525mm的中间，则应记液面高为524。5mm，其中前三位是直接读出的，是准确的，最后一位是估计的，是欠准的，该数据为4位有效数字。如液位恰在524mm刻度上，该数据应记为524。0mm，若记为524mm，则失去一位（末位）有效数字。由上例可见，当液位高度为524。5mm时，最大误差为±0。5mm。
1。有效数字
实验中得到的数据，除最后一位为可疑或不完全确定的数字外，其余均为确定数字，这样的一组数称为有效数字。这一组数有几位就称几位有效数字。如0。0037只有两位有效数字，而370。0则有四位有效数字。与精度无关的“0”不是有效数字，如0。0037中的0。00；与精度有关的“0”是有效数字，如370。0中最后一个0是有效数字。要注意有效数字不一定都是可靠数字。如测流体阻力所用的U形管压差计，最小刻度是1mm，但实验人员可以读到0。1mm，如342。4mm，此时有效数字为4位，而可靠数字只有三位，最后一位不可靠，称为可疑数字。记录测量数值时只可保留一位可疑数字。
请看下面各数的有效数字的位数。
为了清楚地读出有效数字位数，常用指数的形式表示，即写成一个小数与相应10的整数幂的乘积。这种以10的整数幂来记数的方法称为科学记数法。
如85100：有效数字为4位时，记为8。510×105；
有效数字为3位时，记为8。51×105；
有效数字为2位时，记为8。5×105。
0。00578：有效数字为4位时，记为5。780×10－3；
有效数字为3位时，记为5。78×10－3；
有效数字为2位时，记为5。7×10－3。
2。有效数字的运算法则
（1）记录测量数值时，只保留一位可疑数字。
（2）当有效数字的位数确定后，其余数字应一律舍弃。舍弃办法是四舍六入，即末位有效数字后边第一位小于5，则舍弃不计；大于5则在前一位数上增1；等于5时，前一位为奇数，则进1为偶数，前一位为偶数，则舍弃不计。这种舍入原则可简述为：“小则舍，大则入，正好等于奇变偶”。
如保留4位有效数字时，5。71729→5。717；6。14285→6。143；8。62356→8。624；4。37656→4。376。
（3）在加减计算中，小数点后的位数以最小的数为准计算（按误差最大的为准计算）。例如将24。65，0。0082，1。632三个数字相加时，应写为24。65＋0。01＋1。63＝26。29。
（4）在乘除运算中，以相对误差最大的项为准（结果的相对误差与各项中最大相对误差相同）。如0。0121×25。64×1。05782中，0。0121的相对误差为1／121＝0。8％，25。64的相对误差为1／2564＝0。04％，1。05782的相对误差为1／105782＝0。00009％。相对误差最大的项为0。0121，计算结果的精度应当与之一致，上式相当于0。0121×25。6×1。06＝0。328。
（5）在对数计算中，所取对数尾数的位数与真数的有效数字的位数相同。如lg317。2＝2。5013，ln（7-。1×1028）＝66。4-3，lg44。9＝1。652。
（6）在乘方、开方运算中，原近似值有几位有效数字，计算结果就保留几位有效数字。
三、平均值
真值是待测物理量客观存在的确定值，通常真值是无法测得的。虽然真值是一个理想的概念，但在实验中，若对某一物理量经过无限多次的测量，根据误差的分布定律，正负误差出现的概率相等。再经过细致地消除系统误差，对测量值求平均，可以获得非常接近于真值的数值。由于实际上实验测量的次数总是有限的，由此得出的平均值只能近似于真值。实验中常用的平均值有下列几种。
1。算术平均值
算术平均值是最常见的一种平均值。
设x1，x2，…，xn为各次测量值，n代表测量次数，则测量值的算术平均值为
2。几何平均值
几何平均值是将一组n个测量值连乘并开n次方求得的平均值。即
3。均方根平均值
4。对数平均值