02 永无穷尽的素数（第1页）

02永无穷尽的素数

镶嵌在数的拼图中的素数

我们怎样才能确定素数不会越来越稀少，最终逐渐消失殆尽呢？你可能会认为由于有无穷多自然数，而每一个都可以被分解为素数的乘积（这一点我们一会儿仔细解释），那么必然得有无穷多个素数才能承担这一工作。虽然这个结论是正确的，但它并不能从上述观察中得出。这是因为如果我们从有限个素数开始，仅使用这些给定的素因数，我们就能制造出无穷多不同的数。确实如此，任何单个素数都有无穷多个幂次。比如，素数2的幂分别为2，4，8，16，32，64，…因而完全可以设想：只有有限多的素数，每个数都是那些素数的幂的乘积。更糟的是，我们能构造出一个给定数的任意长度的幂数列，或它的任意多倍数列，却没法用同样的手段构造出一个由不同素数组成的无穷数列。对于素数，我们还是得去搜寻，到底怎么才能确定它们不会绝迹？

在这一章结束的时候，我们便会对这一点确定无疑了。首先，请你注意素数的一个值得一提的简单“规律”——除了2和3以外的每一个素数，都与一个6的倍数相邻。换句话说，在这两个数之后的每一个素数，都是像6n±1这样的形式，这里n是某个确定的数。（记住6n是6×n的缩写，符号“±”的意思是加或减。）原因很好理解，每个数都一定可以写成以下6种形式中的一种：6n，6n±1，6n±2，6n＋3，因为没有数与6的某个倍数距离超过3。例如，17=（6×3）-1，28=（6×5）-2，57=（6×9）-3。事实上，这6个形式的数是循环出现的，这意味着当你写下任意6个连续的数，6种形式每个都会出现且仅出现1次。在这之后它们会一遍又一遍地循环出现，并且出现的顺序总是相同的。很显然6n和6n±2形式的数都是偶数。而任何形如6n＋3的数都可以被3整除。因此，除了2和3，只有形如6n±1的数可能是素数。如果6n±1两者都是素数，这种情况恰好对应于孪生素数：比如（6×18）±1给出一对数107和109，我们在第1章中提到过它们。你可能会猜测每对6n±1中至少有1个是素数——这对于100以下的素数来说的确是对的，但往后不远就存在着第一个例外：（6×20）-1=119=7×17，（6×20）＋1=121=11×11。当n=20时，这两个数都不是素数。

素数之所以重要，主要是因为每个数都可以写成一系列素数的乘积，并且这么做的方法本质上只有一种。为了找到这个特别的分解，我们只须用某种方法分解这个给定的数，接着继续分解在因数中出现的合数，直到这样的分解不能再继续为止。比如，我们可以说120=2×60，接着继续将合数因数60分解：

120=2×60=2×（2×30）=2×2×（2×15）

=2×2×2×3×5。

我们说120的素因数分解（primefactorization）为23×3×5，当然我们也可以用另一种途径得到这个结论。比如：

120=12×10=（3×4）×（2×5）

=[3×（2×2）]×（2×5）。

但如果将素因数从小到大重新排列，我们依然得到了与之前相同的结果：120=22×3×5。

至少在上面这个例子中分解的唯一性是真的。你可能或多或少已经熟悉数的这一性质，但是如何保证这个结论适用于每一个数？任何数都可以分解为素数的乘积，这已经足够清楚了。但是，一般来说有不止一种办法可以完成这个任务。那么我们如何确定这个过程总能给出相同的最终结果呢？这是一个重要的问题，因此我将花上一点儿时间概述一下推理的过程，从而使我们能绝对信赖这个结论的正确性。这个结果来自素数的一个特殊性质，我们叫它欧几里得性质（Euproperty）：假设有一个由两个或更多数相乘得到的积，如果一个素数是该乘积的一个因数，那么它也是构成这个乘积的某个因数的因数。比如，7是8×35=280（也可以看作乘积280=7×40）的一个因数，同时我们注意到7也是35的一个因数。这个性质刻画了素数的特征，因为没有合数能够保证同样的结论成立。例如，我们可以看出6是8×15=120（也可以看作120=6×20）的一个因数，6却不是8或15的因数。

素数总是拥有以上性质，这一事实可以用被称为欧几里得算法[1]（Eualgorithm）的推理来证明。我们将在第4章解释这个算法。如果我们暂且相信这个结果，那么就不难解释为什么不存在一个数拥有两个不同的素因数分解。假设存在拥有两个不同素因数分解的数，那么就存在一个最小的这样的数，让我们用n表示它。n有两种素因数分解。当把n的素因数从小到大排列的时候，这两个分解不相同。我们要证明这是矛盾的，因而假设一定为假。

值得一提的是，如果我们把数1包括在素数里，素因数分解的唯一性将不再成立。这是因为我们可以将1的任意幂次方乘上一个分解式，最后的积保持不变。这表明1和素数们有着本质上的不同。基于此，把1排除在素数的定义之外是正确的。

欧几里得：素数的无穷性

让我们回到这个问题：我们怎么知道素数无穷无尽，没有办法找到最大的素数？如果有人声称101是最大的素数，你即刻便能反驳他，因为你可以证明103没有因数（除了1和103以外），因此103是一个更大的素数。接下来你的朋友可能会承认自己大意了，他应该说103是所有素数中最大的。这时候你还可以指出107也是一个素数，从而再次表明他错了。然而你的朋友可能还是执迷不悟，他搬出你们所知的最大的素数。他甚至可能退一小步，承认自己并不知道最大的素数是多少，却继续说他很确定有这么一个数。

解决这个问题最好的方法是：对于任何假想的有限的素数集合，证明我们都能给出一个不在这个集合中的新的素数。比方说，如果有人号称在某个位置存在一个最大的奇数。你可以反驳说，假如n是奇数，那么n＋2是一个更大的奇数，因而不可能有一个最大的奇数。然而，这个方法对于素数来说可就不那么简单了——给定一串有限的素数，我们没有办法使用这个集合来造出一个素数，并且表明它比集合中所有的数都大。那么，或许真的有一个最大的素数？我们怎么才能知道那位固执的朋友是不对的呢？

欧几里得是知道的。约公元前300年，希腊有个数学家叫亚历山大里亚的欧几里得（EuclidofAlexandria）。他就是一切作为定语使用的词“欧几里得”（Eu）本人。从给定一个集合p1，p2，…，pk（其中每个pi表示一个不同的素数），他也没能找到生成一个新的素数的途径，于是他退回一步，找到了一个更加微妙的论证方法。他证明了在某个给定的数的范围内，总是存在一个或更多的新素数（但他的论据并不足以让我们在那个范围内精确地定位素数）。

他的证明如下：设p1，p2，…，pk为前k个素数。考虑比所有这些素数的积还大1的数n，即n=p1p2…pk＋1。n要么是一个素数，要么可以被一个小于它自身的素数整除。如果是后一种情况，这个素因数不可能是p1，p2，…，pk中的任意一个。因为假设p是p1，p2，…，pk中任意一个数，将n除以p会有余数1。于是可推知n的任何素因数都会是一个新的素数，并且比p1，p2，…，pk里面所有的素数都大，但不超过n自己。特别是，由此可知不存在任何包含所有素数的有限的列表，因而素数数列会不断延续下去，永不终结。欧几里得关于素数无穷性的证明是永恒不朽的，是数学中最受敬仰的证明之一。

虽然欧几里得的推理没有确切地说明在哪里能找到下一个素数，但现在我们对素数出现的频率已经有了深入的理解。例如，如果我们任意取两个没有公因数的数，比如a和b，并考虑数列a，a＋b，a＋2b，a＋3b，…，德国数学家约翰·狄利克雷（Johan，1805——1859）证明这样一个数列包含无穷多个素数。（当然，如果a和b有公因数——比方说d，这就没有希望成立了。因为如此一来，列表里每一个成员都是d的倍数，因而不是素数。）当a=1，b=2时，我们得到由奇数组成的数列。由欧几里得的证明，我们知道它包含无穷多素数。实际上，通过对欧几里得的方法进行一些十分简单的改进，还可以证明其他一些特殊情况，比方说以下形式的数列：3＋4n，5＋6n，5＋8n（n依次取1，2，3，…），它们各自都含有无穷多素数。但是，要证明狄利克雷的一般结论就非常难了。

另一个可以简单陈述的结果是，对于任意给定的数n（n≥2），至少存在一个素数大于n但小于2n。这在历史上被称为伯特兰猜想[2]（Bertrand'spostulate），它可以用非常基本的数学知识来证明，虽然这个证明本身有些取巧。我们可以使用下面列出的素数，对取值不大于4000的n验证这个论断。首先观察到这个列表中位于打头的素数2之后的每个数都小于前一个数的2倍：