07 向无穷和更远出发（第1页）
07向无穷和更远出发！
无穷之中的无穷
伽利略·伽利雷（GalileoGalilei，1564——1642）是16世纪意大利伟大的博学家，他提醒我们——无限集合和有限集合的性质有着根本上的不同。正如本书第一页所暗示的，如果一个有限集合的元素可以和另一个集合的部分元素配对，那么第一个集合的大小就小于第二个。然而，与此相反，我们可以用这种方法将无限集合与自身的子集对应起来（这里子集这个术语表示原集合内包含的一个集合）。要理解这一点，我们都不需要超出自然数数列1，2，3，4，…。我们可以轻易地举出这个集合的任意多个子集，它们都形成无限集合，从而与全集形成一一对应的关系（如图8）：奇数1，3，5，7，…；平方数1，4，9，16，…；不那么明显的素数2，3，5，7，…。并且在每种情况下，其相应的补集（e），即偶数、非平方数及合数，也都是无穷的。
图8与自然数配对的偶数和平方数
希尔伯特旅馆
大卫·希尔伯特（DavidHilbert，1862——1943）是他那个年代最杰出的德国数学家。一家十分奇特的旅馆总是与他的名字联系在一起，它生动地体现了无限集合的奇妙性质。这家旅馆的主要特点是它有无穷多房间，用1，2，3，…来编号，还夸下海口，希尔伯特旅馆（HilbertHotel）总是有空房。
一天晚上，这家旅馆却客满了，也就是说每一间房里都住了一位客人。令前台服务员沮丧的是，又一个客人出现了，并要住一间房。幸好经理出手了，他把服务员拉到一边，教他如何处理这种情况，这才避免了尴尬的局面。“让1号房的客人搬到2号房，”他说，“2号房的搬到3号，以此类推。换句话说，我们通知整个旅馆，要求n号房的客人换到n＋1号房中，这样1号房就可以空出来给这位客人了！”
因此你看，希尔伯特旅馆的确总是有空间的。但是到底有多大空间呢？
第二天晚上，服务员面临着一个类似但更加考验人的情形。这一次，一艘载着1729名乘客的太空飞船抵达了，所有人都闹着要在已经客满的旅馆中各自住进一间房。不过前台服务员从前一晚吸取了经验，知道怎样推广之前的方法来应付这个额外的旅行团。他让1号房的人去1730号房，2号房的换到1731号房，如此这般。他发出了通知，要求n号房的客人搬进n＋1729号房间。这就让1～1729号房都空了出来，给新来的人入住。我们的服务员为自己独立处理了昨晚问题的新版本感到骄傲——他这么想也是完全合理的。
然而，最后一天晚上，服务员再次面临同样的情况——一家客满的旅馆，但是这次让他惊恐的不是仅仅出现了几名额外的客人，而是一辆无限大的星际快车，载着无穷多的旅客，每个自然数都对应一位客人。焦头烂额的宾馆服务员告诉司机，这家旅馆已经满员，看不出有什么办法能容纳车上的全部旅客。他或许可以塞下一两个，甚至也可以是任意有限个数，但绝无可能是无穷多的额外客人。这就是不可能！
一场无限大的骚乱眼看就要爆发，就在这关头，经理再一次及时干预。他深晓伽利略关于无限集合的教导，于是告诉巴士司机：完全没问题，在希尔伯特旅馆，任何人都能有房间。他把惊慌失措的前台接待员叫到一边，又给他上了一课。“我们只需要这样做。”他说，“我们让1号房的住客换进2号房，2号房的换到4号房，3号房的去6号房，以此类推。总体而言，n号房的客人应该搬到2n号房。这样所有奇数号的房就空了出来，无限星际快车的旅客都能入住。完全没有问题！”
似乎一切都在经理的掌控之中。但是，假设一艘飞船有某种技术，使得实数轴的连续统[1]（）上的每一点都对应一位乘客，那么即便是经理也无能为力。每个小数一个人的话，希尔伯特旅馆就会彻底挤爆。在下一小节我们就会知道原因。
康托尔的比较法
当你第一次思考这些问题的时候，它们可能会让你大吃一惊。不过，有一点并不难接受，无限集合的性质在某些方面或许与有限集合不太一样，其中一例便是它们与自身的某些子集有同样的大小。在19世纪，格奥尔格·康托尔（Getor，1845——1918）比我们走得远得多。他发现并非所有无限集合都拥有同样多的元素。这个发现出人意料，不过你一旦注意到它，就不难体会其中的含义。
康托尔要我们考虑以下这个问题。假设我们有一张无限长的数表L，里面有数a1，a2，…，可以把它们看作以小数形式给出的，那么可以写下一个在L中从未出现过的数a。我们只需要让a的小数点后第一位与a1的小数点后第一位不同，小数点后第二位与a2的小数点后第二位不同，小数点后第三位与a3的小数点后第三位不同，以此类推。这样，我们就构造出了数a，它与列表中任意一个数都不同。这个结论导致了一个直接后果，那便是数表L绝对不可能包含所有的数，因为L中缺失了数a。由此可知，全体实数的集合，即所有的小数展开式，不能被写在一个列表里。换句话说，实数集与自然数不能像图8里那样建立起一一对应的关系。这条推理链被称为康托尔对角线论证法（tument）。为了构造集合L外面的数a，我们想象了L的小数列表形式（如图9），并用这个阵列的对角线定义了a。
这里有一些微妙之处。我们或许能把缺失的那个数放在L的开头，这样就能轻易绕过这个困难。这创造出一个更大的列表M，它包含引起麻烦的数a。但是，背后的问题并没有消失。我们可以再一次运用康托尔的构造方法，引入一个崭新的数b，而它不存在于这个新列表M当中。我们当然可以像之前一样，无限次地继续加长现有的列表，然而康托尔的结论依然成立：纵使我们能够不断造出含有之前忽略掉的数的列表，但是永远不可能有那么一张表包含每一个实数。
图9康托尔对角线论证法
因此，全体实数的集合在某种意义上比所有正整数的集合大。虽说两者都是无穷的，但是不像偶数可以与自然数列表匹配那样，它们没法配对在一起。的确，假定有一张表包含了区间0～1内所有的数，我们将康托尔的对角线法应用在这个列表上，那么缺失的数a也将位于这个范围内。因此，类比于之前，我们同样可以总结出，任何想列出这个区间的全部元素的尝试都是徒劳的。我们提起这个事实，是因为很快就要用到它。
我们随意地接受任何可能的小数展开的时候，就打开了通往超越数的大门。那些数超出了能从欧氏几何和普通代数方程产生的数的范围。康托尔的证明告诉我们，超越数是存在的，并且有无穷多个。因为假如它们仅仅组成一个有限的集合，那么它们就可以被放在我们的代数数（非超越数）的表单的开头，这样就产生了一张全体实数的列表，而我们已知这是不可能的。令人惊异的是，我们发现了这些奇怪的数是存在的，却还没有指认出其中的任何一个！仅通过互相比较某些无限集合，我们就揭示了这些数的存在。在我们熟悉的代数数和所有小数展开的集合中间，有着巨大的空隙，而超越数正是填充这些空隙的数。用一个天文学的比喻来说，超越数就是数的世界中的暗物质。
从有理数到实数，用数学家们的话来说，我们是从一个集合转到了另一个势[2]（ality）更大的集合。如果两个集合的元素可以一对一地匹配起来，那么它们就等势。用康托尔的方法可以证明，任何集合的势都小于由它的所有子集组成的集合的势。这对于有限集合来说是显然的：在第5章我们已经解释了如果一个集合有n个元素，那么可以构造出2n个子集。但是，自然数这个无限集合{1，2，3，…}的所有子集组成的集合S到底有多大呢？这个问题不光本身很有趣，我们得到答案的方式也耐人寻味。结论是S确实是不可数的。
罗素悖论
假设S是可数的，那么自然数的子集可以按某种顺序列举出来：A1，A2，…。现在，任意一个数n可能是An的元素，也可能不是。让我们考虑由所有不属于集合An的数n所组成的集合A。现在，A是自然数的一个子集（有可能是空集），于是它应该也在某个时候出现在了之前说的列表里，比方说A=Aj。现在出现了一个无法回答的问题：j是Aj的元素吗？如果答案是“是”，那么由A定义方式，我们可以推出j不是A的元素。但是A=Aj，这自相矛盾。另一种可能的答案是“不是”，j并非Aj的元素，在这种情况下，通过定义我们再一次推断j是A=Aj的一个元素，于是我们又遇到了矛盾。因为矛盾不可避免，我们的原始假设——自然数的子集能被可数地列举，必为假。的确，这个方法成功证明了任何可数无限集合的子集所组成的集合是不可数的。
这种自指式风格的证明是由伯特兰·罗素（BertrandRussell，1872——1970）引入的。当时的背景稍有不同，他是为了导出罗素悖论（Russell匀sparadox）。罗素将这个方法应用于“所有不属于自己的集合组成的集合”，并问出了以下令人尴尬的问题：这个集合是否是自身的一个元素？最后，“是”会推出“否”，而“否”会得出“是”，这迫使罗素得出结论，这样的集合不可能存在。
19世纪90年代，康托尔自己就从“所有集合组成的集合”这个思想中发现了一个隐含的矛盾。的确，罗素承认他的悖论受到康托尔工作的启发。无论如何，我们从所有这些讨论中总结出的经验是：不能简单地想象数学集合可以随意引入，对于如何描述集合需要设置一些限制条件。从那以后，集合论学家和逻辑学家一直在为这些悖论造成的后果绞尽脑汁。这些困难最令人满意的解决方案，是现在已经成为标准的ZFC集合论（包含选择公理的策梅罗-弗兰克尔集合理论[3]）。
显微镜下的数轴
图10数轴上任意给定的不同位置都被有理数分隔开
回到给定的数a和b。再一次，令c为它们的平均值。如果c是无理数，我们就得到了要求的数（无理数）。如果c是有理数，设d=c＋t，这里t是上一段我们说到的无理数。根据之前的结论，d也是无理数。如果我们让t里面的n足够大，总可以保证d足够接近两个给定数a和b的平均值c，从而也位于它们之间。这样，我们看到无理数同样组成了一个稠密集（de）。就像有理数，我们也可以推知数轴上任意两个数之间有无穷多无理数。
因此，有理数集和它的补集——无理数集，在一方面是类似的（它们在数轴上都是稠密的），在另一方面却又不同（前者是可数的，后者则不是）。
康托尔三分集
现在，对于有理数和无理数如何织就整个实数轴，我们已经有了更清晰的认识。有理数组成了一个可数集合，但同时也稠密地填充在数轴上。与之相反，康托尔三分集（iddlethirdset）是单位区间的一个不可数子集，却是稀疏分布的。它是如下文的构造的产物。
图11康托尔三分集第一到四层的形成过程
接下来我们将会有一个令人惊喜的发现。取C中任意数c的三进制形式，将每个2都替换成1，我们就得到了单位区间中某个数的二进制展开式。这在C和I的所有数（写成二进制形式）之间建立了一一对应关系。由此可知，C的势与I相等。由于后者是一个不可数集（由康托尔对角线论证可得），因此康托尔三分集不仅是无穷的，还是不可数的。
于是我们就有了一个集合C，从某个意义上讲它的大小可以忽略（测度为0），但是用另一种方式估计，C又是巨大的，因为它与I——因而与整段实数轴——等势。