十一微分方程式（第1页）

十一、微分方程式

在数学的园地中，微分法这个院落从建筑起来到现在，都在尽量地扩充它的地盘，充实它的内容，它真是与时俱进，越来越繁荣。它最初的基础虽简单，现在，离开那初期的简单的模样，已不知有多远了。它从创立到现在已经是两世纪半，在这二百五十多年中，经过了不少高明工匠的苦心构思，便成了现在的蔚然大观。

很多数学家逐渐扩展它，使它一步步一般化，所谓无限小的计算，或叫作解析数学的这一支，就变成了现在的情景：在数学中占了很广阔的地位，关于它的专门研究，以及一切的应用，也就不是一件容易弄清楚的事！

不过，要进一步去看里面的“西洋景”，这倒很难。毫不客气地说，若还像以前一样，离开许多数学符号，要想讲明白它，那简直是不可能的。因此，只好对不起，关于无限小的计算，我们可以大体讲一下，也就快收场了。但请你不要就此失望，下面所讲到的也还是一样重要。

从我们以前讲过许多次的例子看起来，所有关于运动的问题，都要用到微分法。因为一个关于运动的问题，它所包含着的，无论已知或未知的条件，总不外是延续在某一定时间当中的空间的路程、它的速度和它的加速度，而这三个量又恰好可以由运动的法则和这个法则的诱导函数表明。

所以，知道了运动的法则，就可以求出合于这法则的速度以及加速度。现在假如我们知道一些速度以及一些加速度，并且还知道要适合于它们所必需的一些不同的条件，那么，要表明这运动，就只差找出它的运动法则了。

单只空空洞洞地说，总是不中用，仍然归到切实一点的地步吧。关于速度和加速度，彼此之间有什么条件，在数学上都是用方程式来表示，不过这种方程式和代数上所讲的普通方程式有些不同罢了。最大的不同，就是它里面包含着诱导函数这个宝贝。因此，为了和一般的方程式划分门户，我们就称它是微分方程式。

在代数中，有了一个方程式，是要去找出适合于这方程式的数值来，这个数值我们叫它是这方程式的根。

和这个情形相似，有了一个微分方程式，我们是要去找出一个适合于它的函数来。这里所谓的“适合”是什么意思呢？说明白点儿，就是比如我们找出了一个函数，将它的诱导函数的值，代进原来的微分方程式，这方程式还能成立，那就叫作适合于这个方程式。而这个被找了出来的函数，便称为这个微分方程式的积分。

代数里从一个方程式去求它的根叫作解方程式，对于微分方程式要找适合于它的函数，我们就说是将这微分方程式来积分。

还是来举一个非常简单的例子。

比如在直线上有一点在运动着，它的加速度总是一个常数，这个运动的法则怎样呢？

在这个题目里，假设用y′表示运动的加速度，c代表一个一成不变的常数，那么我们就可以得到一个简单的微分方程式：

y′=c

你清楚地记得加速度就是函数的二次诱导函数，所以现在的问题，就是找出一个函数来，它的二次诱导函数恰好是c。

这里的问题自然是最容易的，前面已经说过，一种均齐变化的运动的加速度是一个常数，但是若由数字上来找这个运动的法则，那就必须要将上面的微分方程式积分。

第一次，我们将它积分得：（设变数是t）

你要问这个式子怎样来的？我不再说了，你看以前的例y″=c，是从一个什么式子微分来的，就可以知道。

不过在这里有个小小的问题，照以前所讲过的诱导函数法算来，下面的两个式子都可以得出同样的结果y″=c，

这两个式子恰好差了一项（一个常数），我们总是用第二个，而把第一个当成一种特殊情形（就是第二式中的a等于零的结果）。那么，a究竟是什么数呢？朋友！对不起，“有人来问我，连我也不知”。我只知道它是一个常数。

这就奇怪了，我们将微分方程式积分得出来的，还是一个不完全确定的回答！但是，朋友！这算不了什么，不用大惊小怪！你在代数里面，解二次方程式时通常就会得出两个根，若问你哪一个对，你只好说都对。倘使，你所解的二次方程式，别人还另外给你一个什么限制，你的答案有时就只能容许有一个了。同这个道理一样，倘使另外还有条件，常数a也可以决定是怎么一回事。上面的两个式子当中，无论哪一个也还是一个微分方程式，再将这个微分方程式积分一次，所得出来的函数，便表示我们所要找的运动法则，dy　=　c2t2　+　at　+　b（b又是一个常数）。无限小的计算，虽则我们所举过的例子都只是关于运动的，但物理的现象实在是以运动的研究做基础，所以很多物理现象，我们要去研究它们，发现它们的法则，以及将这些法则表示出来，都离不了这无限小的计算。实际上，除了物理学外，别的科学用到它的地方也非常广阔，天文、化学，这些不用说了，就是生物学和许多社会科学，也要倚赖着它。实际，现在要想走进学术的园地去，恐怕除了作“月姐姐花妹妹”的诗，写“我爱你，你不爱我”的小说，和它不接触的机会总是很少的。

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