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六、无限小的量
量本来是抽象的，为了容易想象，我们前面说诱导函数的效用和计算法的时候，曾经找出运动的现象来做例。现在要确切一点地来讲明白数学的函数的意义，我们用的方法虽然和前面用过的相似，但要比它更一般些。
诱导函数的一般的定义是怎样的呢？
从以前所讲过的许多例子中，可以看出来：诱导函数是表示函数的变化的，无论那函数所倚靠的变数小到什么地步，总归可表示出函数在那儿所起的变化。诱导函数指示给我们看，那函数什么时候渐渐变大和什么时候渐渐变小。它又指示给我们，这种变化什么时候来得快、什么时候来得慢。而且它所能指示的，并不是大体的情形，简直连变数的值虽只有无限小的一点变化，函数的变化状态也指示得非常清楚。因此，研究函数的时候，诱导函数实在占据着很重要的位置。关于这种巧妙的方法的研究和解释，以及关于它的计算的发明，都是非常有趣的。它的发明十分奇异，结果又十分丰富，这可算是一种奇迹吧！
然而追根究底，它不过是从数学的符号的运用当中诱导出来的。不是吗？我们用Δ这样一个符号放在一个量的前面，算它所表示的量是无限小的，它可以逐渐减小下去，而且是可以无限地减小下去的。我们跟着就研究这种无限小的量的关系，便得出诱导函数这一个奇怪的量。
起源虽很简单，但这些符号也并不是就可以任意诱导出来的。照我们前面已讲明的看来，它们原是为了研究任何函数无限小的变化的基本运算才产生的。它逐渐展开的结果，对于一般的数学的解析，却变成了一个精确、恰当的工具。
这也就是数学中，微分学这一部分，又有人叫它是解析数学的原因。
一直到这里，我们已经好几次说到，对于诱导函数这一类东西，要给它一个精确的定义，但始终还是没有做到，这总算一件憾事。原来要抽象地了解它，本不容易，所以只好慢慢地再说吧。单是从数学计算的实际上，是不能再找到这些东西的定义了，所以只好请符号来说明。一开始举例，我们就用字母来代表运动的东西，这已是一种符号的用法。
后来讲到函数，我们又用到下面这种形式的式子：
y=f（x）
这式子自然也只是一个符号。这符号所表示的意思，虽则前面已经说过，为了明白起见，这里无妨再重述一遍。x表示一个变数，y表示随了x变的一个函数。换句话说就是：对于x的每一个数值，我们都可以将y的相应的数值计算出来。
在函数以后讲到诱导函数，又用过几个符号，将它连在一起，可以得出下面的式子：
y′表示诱导函数，这个式子就是说，诱导函数是：当Δx以及Δy都近于零的时候，?yΔx这个比的极限。
再把话说得更像教科书式一些，那么：
诱导函数是：“当变数的增量Δx和增量Δy都无限减小时，Δy和Δx的比的极限。”到了这极限时，我们另外用一个符号dydx表示。
朋友！你还记得吗？一开场我就说过，为这个符号我曾经碰了一次大钉子，现在你不费吹灰之力就看见了它，总算便宜了你。你好好地记清楚它所表示的意义吧！用场多着呢！有了这个新符号，诱导函数的式子又多一个写法：
dy和dx所表示的都是无限小的量，它们同名不同姓，dy叫y的“微分”，dx叫x的“微分”。在这里，应当注意的是：dy或dx都只是一个符号，若看成和代数上写的ab或xy一般，以为是d和y或d和x相乘的意思，那就大错了。好比一个人姓张，你却叫他一声弓长先生，你想，他会不会对你失敬呢？
从dydx=y′这式子变化一番，就可得出一个很重要的关系：
这就是说：“函数的微分等于诱导函数和变数的微分的乘积。”
我们已经规定清楚了几个数学符号的意思：什么是诱导函数、什么是无限小、什么是微分。现在就用它们来研究和分解几个不同的变数。
对于这些符号，老实说，也可以像其他符号一样，用到各种各样的计算中。但是有一点要非常小心，和这些量的定义矛盾的地方就得避开。
闲话少讲，还是举几个例子出来，先举一个最简单的。
假如S是一个常数，等于三个有限的量a、b、c与三个无限小的量dx，dy，dz的和，我们就知道：
在这个式子里面，因为dx、dy、dz都是无限小的变量，而且可以任意使它们小到不可用言语表达出来的地步，因此干脆一点，我们简直可以使它们都等于零，那就得出下面的式子：
你又要捉到一个漏洞了。早先我们说芝诺把无限小想成等于零是错的，现在我却自己马马虎虎地也跳进了这个圈子。但是，朋友！小心之余还得小心，捉漏洞，你要看好了它真是一个漏洞，不然，近视眼看着墙壁上的一只小钉，以为是苍蝇，一手拍去，对钉子来说没有什么大碍，然而手该多痛啊！
在这个例子中，因为S和a、b、c都是有限的量，不能偷换，留几个小把戏夹杂在当中跳去跳来，反而不雅观，这才可以干脆说它们都等于零。芝诺所谈的问题，他讲到无限小的时间，同时讲到无限小的空间，两个小把戏跳在一起，那就马虎不得，干脆不来了。所以假如一个式子中不但有无限小的量，还有另一个无限小的量相互关连着，那我们就不能硬生生地说它们等于零，将它们消去，我们在前面不是已经看到过吗？无限小和无限小关连着，会得出有限的值来。朋友！有一句俗话说：“一斗芝麻拈一颗，有你不多，无你不少。”但是倘若就只有两三颗芝麻，你拈去了一颗，不是只剩二分之一或三分之二了吗？
无限小可以省去和不省去的条件你明白了吗？无限大也是一样的。
上面的例子是说，在一个式子当中，若是含有一些有限的数和一些无限小的数，那无限小的数通常可以略掉。假如在一个式子中所含有的，有些是无限小的数，有些却是两个无限小的数的乘积。小数和小数相乘，数值便越乘越小。一个无限小的数已经够小了，何况是两个无限小的数的乘积呢？因此，这个乘积对于无限小的数，同前面的理由一样，也可以略去。假如，有一个下面的式子：
在这里面dv也是一个无限小的数，所以右边的第二项便是两个无限小的数的乘积，它对于一个无限小的数来说，简直是无限小中的无限小。对于有限数，无限小的数可以略去。同样地，对于无限小的数，这无限小中的无限小，也就可以略去。
两个无限小的数的乘积，对于一个无限小的数说，我们称它为二次无限小数。同样地，假如有三个或四个无限小数相乘的积，对于一个无限小的数（平常我们也说它是一次无限小的数），我们就称它为三次或四次无限小的数。通常二次以上的，我们都称它们为高次无限小的数。假如，我们把有限的数，当成零次的无限小的数看，那么，我们可以这样说：在一个式子中，次数较高的无限小数对于次数较低的，通常可以略去。所以，一次无限小的数对于有限的数，可以略去，二次无限小的数对于一次的，也可以略去。
在前面的式子当中，我们已经知道，若两边都用同样的数去除，结果还是相等的。我们现在就用dx去除，于是得出：在这个新得出来的式子当中，左边dydx所含的是两个无限小的数，它dx们的比等于有限的数y′。这y′我们称为函数y对于变数x的诱导函数。因为y′是有限的数，dv是无限小的，所以它对于y′可以略去。因此，dydx=y′或是两边再用dx去乘，这式子也是不变的，所以：dy=y′dx
这个式子和之前比较，就是少了那两个无限小的数的乘积（dvdx）这一项。
这一节到此结束，我们再换个新鲜的题目来谈吧！