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二、数学所给予人们的
我想在这篇短文中答复许多人对于我所提出的“数学有什么用”的问题。我希望这一篇简略的述说能引起人们对于数学的伟大功绩的注意，不要低估了它的价值——虽然这对它来说没有任何损伤。
只要人的生活不是全然在懵懂混沌中，就没有一个时候——无论多么短——能够脱离数学的关系。张三比李四高一点儿；同样的树，远处的看上去低，近处的看上去高；今天的风比昨天大……这许多的比较都是人心在受到数学的锻炼以后才能获得的。从白马湖要到上海去，就比到宁波去需多备路费，多带零用物品，多留出几天的空闲；准备一月的粮食比备一天的粮食要多储几斗米；没有事到山上去跑的时候，看见太阳已发了红快掉下去，就得放快一点儿脚步才免了黑夜的奔走……这一类的事，也不是从有生以来就不曾受过数学的锻炼的人所能及的。
一百页的书打算五天念完，平均每天应当念多少？雇一个人做了三天的工，要给他多少工钱？想缝一件大布长衫要买多少布才不至于不足，也不至于多出剩余？这些自然都是很浅、很明白的，没有一个人能否认数学所给予人的“用”。但数学对于人的贡献若只有这一点，也就不值得去学，纵然不得不学，也是一件极轻而易举的事。中国的旧式商人，通了“小九九”便可受用不尽，若还知道点儿“飞归”的就要被人称颂，实在是一个呱呱叫的人物了。对于这点，没有人还怀疑数学的“用”，但因此来赞美数学，它虽未必叫屈，也绝不会安心。一般人对于数学，反而觉着越学越没有用，这是它所引以为憾的，虽然它的目的不全在给人以“用”。
人们若不想返回到数千年以前的生活，不愿穴居野处，钻燧取火，茹毛饮血，和别人老死不相往来，现在的物质文明，一切科学的、工艺的、机械的贡献在某种限度以内，它的价值是不能抹杀的。物理学家、化学家、生物学家和天文学家支配世界的力量，艺术家以及思想家原是难分轩轾的。人们与别的一切生物不同，能够享受较满足、较愉快的生活，全倚仗他们的思想。数学就是思想的最重要的工具，在二十世纪以后，找一种不受数学的影响的思想界的产物，恐怕是不可能的吧？
抱残守缺的中国式的旧工艺，已经渐渐地失去了满足人的需要的力量了。而公输子之巧，不以规矩，也不能成方圆；师旷之聪，不以六律，仍然不能正五音。没有他们的巧或聪的人怎能不墨守成规呢？可怜的中国啊！要想建筑一所卫生的、美丽的、高大的房屋，就不得不到洋人或读过洋书的人的面前去屈尊求教了！
在空闲的时间到剧院里去听戏或音乐会里听音乐，为增长一点儿知识到演讲会中去听讲演，都有一件使人感到苦痛的事实发现，不是力量大、腿长或钱多的人，必定被挤到人群的后面，到了一个听而不闻的位置，乘兴而去败兴而回。哪儿能想到一个能容五六千人，没有一个人坐着听讲的讲堂，已在美国筑了起来，供给不少的人享乐呢？更何况这样伟大、适用的讲堂只凭了一个极简单的代数式Y2=70·02X就可以筑起来呢？凭借这样一个极简单的式子，工程师坐在屋里，吸着雪茄，把一切墙的形式、台的长、天花板的高，不费多大力气就从容地决定出来，而且不差分毫。这不是什么神奇的事，仅仅依声浪直线行进和投射角相等的角折回的性质和一个代数式的几何的曲线的性质，便受用不尽了！对于更大、更美的建筑，数学也有同样的贡献啊！除了丁字尺、三角板、圆规，还有什么方法可以取方就圆、切长补短呢？基本的帮助，就是不少的帮助吧！
这样的式子，不曾和铜元、钞票一样地明白地显示它的“用”，哪儿知道经济学上也和它很亲善呢？债券的价格、拆换、生命保险、火灾保险，都要以它为根据的。
虽依上面的说法，把数学所给予人的，讲得比一般人所能想到的大了一点儿，但仍然不能得到它真实、伟大的贡献。若从天文学上考察，可以使人们更惊异，从而相信它的力量了。
太阳已落到西边去，月亮也唤不起的夜里，在我们眼里所看到的美，不是挂了满天的星星吗？有闪缩的，有飞舞的，没有一个人不是用“无数”两个字来表示它们的繁多。数学对于人不能数的星星，却用了几个简单的式子，就能统括起它们运行的轨迹，依着式子就可决定它们在某时的相关位置，比用人眼所看的还精准。在海王星没有被发现的时期，因研究关于星的扰动，许多天文学家和亚当斯（Adams）就从数学上决定了它的轨道。当它行到望远镜可以看见的位置的时候，亚当斯和他的朋友依计算所得的位置将望远镜移转，这被数学所决定的海王星果然无所逃避，被他们看见了，这在以前是不可能的。
这样的例证虽然多，都是理科上的运用，一般以数学为理科的基础的朋友们当然不否认，别的人难免仍有微词。以数学为理科的基础，虽没有什么错，却小看了数学的力量。
数学在哲学的领域占有相当的势力，这是从人类的文化略有基础的时候就是这样的。柏拉图（Plato）教他的弟子学哲学，要他们先学几何锻炼思想。毕达哥拉斯（Pythagoras）的哲学和数学更分不了家。其实很难找出不受数学的洗礼的哲学家，读过哲学史的人对于这话总不至于以为武断吧？
逻辑算是哲学的基础了，数理逻辑（MathematicalLogic）的创建，使哲学的研究得到了较大的助力。虽然这种研究还处于萌芽状态，但“它可以使我们易于研究，比‘言辞的推论所能得出的’更抽象的观念，它可以指示‘用别的方法想不到’的有效的假定，它可以帮助我们立刻看出建筑一个逻辑的或科学的理论至少需要的材料是什么”。也就功不可没了。
数学上对于“连续”和“无限”的研究，得到了美满的结果以后，哲学上的疑问，不少也就可以得到解答了。数学和哲学在某些方面是很难分出界限来的，因此数学不只是理科的基础。假使哲学在人的思想界能显出更大的权威来，数学的功效也就值得称为伟大了，何况它所加惠于人的还不止这些呢？
以求善为目的的人们很容易将数学轻视，有时更认为数学是会使人习于深刻的，应当反对。但真正的善本没有深刻与否的问题，后一层没有答辩的必要。数学是以求真为主的，和善有关系吗？数学对于人既然有绝大的贡献，本身当然是善的。以数学为基础的科学，也是以有助于人的幸福为目的，数学也是没有罪的。至于因科学受了利用而产生不少的罪恶——机械供资本家使用，使得一班操手工业的人不得不忍辱含垢地到工厂里去讨苦痛的生活，军国主义者利用科学制造杀人的猛烈的器具，这不是科学的罪恶，更不是为科学的基础的数学的罪恶。
“善”不是在区别是非吗？“善”不是要寻求道德的真正意义吗？要满足这样的企图，恐怕不能不借助数学吧？
很容易与数学发生冲突，或无关系的，要算艺术了。艺术自然是从情感出发的，但纯粹不加入点儿理智的成分的情感，人也是不容易有的吧？“真”和“美”也不是绝对可以分开的啊！秩序咧、和谐咧，不是美的必要条件吗？音阶的组成，不也要倚赖数学将各音的振动的关系表明吗？一张画有各种物件的关系位置的图，各部分的大、小、长、短不也是数学所支配的吗？
数学本身也能将美贡献于人。我们和外界接触的时候，森罗万象，倘若在心里不能将它们弄得井然有序，自然界的可憎恐怕使人一个早上都坐不稳了！这种综合能力，从数学出发比较简要、可靠，并非别的所能比拟的。就是表现一种图形的变化，也以数学为简单明了。数中间的奇妙变化，给人的美感也是不可解说的啊！从一到无穷的整数中，整数是无穷的；从一到二之间的数也是无穷的；从一到二分之一，或二十分之一，二百分之一……以至于二亿分之一间的数仍然是无穷的。这样的想象只能使人们感到枯燥没有一点儿美感吗？崇高和伟大是兴起美感的，使人们感到大而又大，大之外还有大，无论如何可以超出我们的想象力，从什么地方还可以得到这样的美感呢？大，大至无穷；小，小至无穷；变幻，变幻至无穷；极纷繁不可计的，可以综合到极简单；极简单的可以推演到无数。这样的能动的美感不值得赞颂吗？
说过的话已经不少了，或者表现出数学所给予我们的不算小吧。我们从中得到的只有这些吗？还有更大的没有呢？我想，从精神层面将我们居住的世界扩延出去，使人们不局限在现实的空间内，才是数学最大的恩惠。要说到这一层，较详的叙述实在无法免去。
我们想象有种在直线上生活的人——说他是人——他的行动只有前进和后退，不能改变方向——无论上下、左右。倘若我们在他行进的直线上前后都加上了极薄、极短的阻隔——只要有阻隔，无论多么薄多么短——如果不允许他冲破那阻隔，他只有困死在里面了。在我们看来，这是何等的可笑呢？脚一提或由左右一移动就得到生路了。但这是我们这些没有在直线方向活动的人替他想到的，他绝不能领会。
比他更进步的人——假定说——他不但能在直线上活动，在平面内部也能活动。这个世界上的人，自然不至于有前一种人的厄运，因为他可以在平面内部活动——虽然不能上下活动——得到生路。但是，只要在他所在的平面上，围着他画一个小圈，虽然这圈是用墨笔画的，看不出它的厚来，只要不允许他冲破，也就可以限制他的活动，围困他了。我们用我们的智慧可以指示他，叫他不用力地跳下就可以出来。但“跳”是上下的活动，是他不能理会的，所以这样的指示就和对牛弹琴一样，不能给他微小的帮助，这也是我们作为旁观者认为可笑的。
我们笑他们，他们固然只能忍受了，或者他们和我们一样，不但不能领受别人的指示，而且永远想不到那样的指示是有的。这句话似乎很惊异。但是我要提出一个问题：假如有人将我们用一张极薄的纸做成的箱子封闭在里面，不许我们扯破箱子，我们能出来吗？不会在里面困死吗？直线世界的人不打破他前后的阻碍不能出来，我们笑他；平面世界的人不打破他四周——前后左右——的围圈不能出来，我们笑他。我们自己呢，不过多一条出路——上下——把这条多的出路一同封住，也就只有坐以待毙了，这不应当受讥笑吗？这是不应当的，因为我们和他们有一点不同。他们的困难是我们所能战胜的，我们的困难是不能战胜的。因为除了前后、左右、上下三条路，没有第四条路。这样的解释，不过聊以**罢了。我们在立体世界想不出第四条路和他们在直线世界想不出第二条路，在平面世界想不到第三条路不是一样的吗？不是只凭各自的生活环境设想吗？直线世界的人不能因他们的想象所不能及而否认平面世界的人的第二条路，平面世界的人不能因他们的想象所不能及而否认我们的第三条路，我们有什么权利因我们的想象不能及而否认第四条路呢？不将第四条路否认掉，第五、第六条路也就同样地难于否认。有了三条路以外的路，不打破薄纸做成的纸箱，立体世界里除了笨伯还有谁出不来呢？这样的说法，执着在物质的现实界的人们除了惊异摇头外，只有用实际的生活作武器来反对。在立体世界的实际方面，第四条路是找不出的。但这样由合理的推论得到的理想的世界——这里只是比喻，数学上自有根于理论的证明——使我们的精神生活不局限在时空以内，这是何等伟大的成就！愚蠢的人们劳心、焦心地统领着一般富于兽性的人，杀戮了许多善良的朋友，才争得尺寸的地盘。不费一矢，不伤一人，不和任何人相角逐，在立体世界以外，开拓了第四、第五……条路来。不占有而享受，精神界的领域何等广漠！这就是数学所给予人们的！