三函数和变数（第1页）
三、函数和变数
科学上使用的名词，都有它死板的定义，说实话，真是太乏味了。什么叫函数，我们且先来举个不大合适的例。
我想，先把“数”字的意思放宽一些，不必太认真，在这里既不是要算狗肉账，倒也没有什么大碍。这么一来，我可以告诉你，现在的社会中，“女子就是男子的函数”。但你不要误会，以为我是在说女子应当是男子的奴隶。奴隶不奴隶，这是另外的问题。我想说的只是女子的地位是随着男子的地位变的。写到这里，忽然笔锋一转，记起一段笑话，一段戏文上的笑话。有一个穷书生，讨了一个有钱人家的女儿做老婆，因此，平日就以怕老婆出了名。后来，他的运道亨通了，进京朝考，居然一榜及第。他身上披起了蓝衫，许多人侍候着。回到家里，一心以为这回可以向他的老婆复仇了。哪知老婆见了他，仍然是神气活现的样子。他觉得这未免有些奇怪，便问：“从前我穷，你向我摆架子，现在我做了官，为什么你还要摆架子呢？”
她的回答很妙：“愧煞你是一个读书人，还做了官，‘水涨船高’你都不知道吗？”
你懂得“水涨船高”吗？船的位置的高低，是随着水的涨落变的。用数学上的话来说，船的位置就是水的涨落的函数。说女子是男子的函数，也就是同样的理由。在家从父，出嫁从夫，夫死从子，这已经有点儿像函数的样子了。如果还嫌粗略些，我们不妨再精细一点儿说。女子一生下来，父亲是知识阶级，或官僚政客，她就是千金小姐；若父亲是挑粪、担水的，她就是丫头。这个地位一直到了她嫁人以后才会发生改变。这时，改变也很大，嫁的是大官僚，她便是夫人；嫁的是小官僚，她便是太太；嫁的是教书匠，她便是师母；嫁的是生意人，她便是老板娘；嫁的是x，她就是y，y总是随着x变的，自己无法作主。这种情形和“水涨船高”真是一样，所以我说，女子是男子的函数，y是x的函数。
不过，这只是一个用来作比喻的例子，女子的地位虽然随了她所嫁的男子有夫人、太太、师母、老板娘、y……的不同，这只是命运，并非这些人彼此之间骨头真有轻重的差别，所以无法用数量来表示。说是函数，终究有些勉强，真要明了函数的意思，我们还是来正正经经地讲别的例吧！
请你放一支燃着的蜡烛在隔你的嘴一米远的地方，倘若你向着那火焰吹一口气，这口气就会使那火焰歪开、闪动，说不定，因为你的那一口气很大，直接将它吹灭了。倘若你没有吹灭——就是吹灭了也不要紧，重新点着好了——请你将那支蜡烛放到隔你的嘴三米远的地方，你照样再向着那火焰吹一口气，它虽然也会歪开、闪动，却没有前一次厉害了。你不要怕麻烦，这是科学上的所谓实验的态度。你无妨向着蜡烛走近，又退远开来，吹那火焰，看它歪开和闪动的情形。不用费什么事，你就可以证实隔那火焰越远，它歪开得越少。我们就说，火焰歪开的程度是蜡烛和嘴的距离的“函数”。
我们还能够决定这个“函数”的性质，我们称这种函数是“降函数”。当蜡烛和嘴的距离渐渐“加大”的时候，火焰歪开的程度（函数）却逐渐“减小”。
现在，将蜡烛放在固定的位置，你也站好不要再走动，这样蜡烛和嘴的距离便是固定的了。你再来吹那火焰，随着你那一口气的强些或弱些，火焰歪开的程度也就大些或小些。这样看来，火焰歪开的程度，也是吹气的强度的函数。不过，这个函数又是另外一种，性质和前面的有点儿不同，我们称它是“升函数”。当吹气的强度渐渐“加大”的时候，火焰歪开的程度（函数）也逐渐“加大”。
所以，一种现象可以不只是一种情景的函数，即火焰歪开的程度是吹气的强度的升函数，又是蜡烛和嘴的距离的降函数。在这里，有几点应当同时注意到：第一，火焰会歪开，是因为你在吹它；第二，歪开的程度有大小，是因为蜡烛和嘴的距离有远近，以及你吹的气有强弱。倘使你不去吹，它自然不会歪开。即使你去吹，蜡烛和嘴的距离，以及你吹的气的强弱，每次都是一样，那么，它歪开的程度也没有什么变化。所以函数是随着别的数而变的，别的数也得先会变才行。穷书生不会做官，他的老婆自然也就当不来太太。因为这样，这种自己变的数，我们称它为变量或变数。火焰歪开的程度，我们说它是倚靠着两个变数的一个函数。在日常生活中，我们也能找出这类函数来：你用一把锤子去敲钉子，那锤子施加到钉子上的力量，就是锤的重量和它敲下去的速度这两个变量的升函数；还有火炉喷出的热力，就是炉孔的面积的函数。因为炉孔加大，火炉喷出的热力就会渐渐减弱。至于其他的例子，你只要肯留意，随处可见。
你会感到奇怪了吧？数学是一门多么精密、深奥的学科，从这种日常生活中的事件，凭借一点儿简单的推理，怎么就能够扯到函数的数学的概念上去呢？由我们的常识的解说又如何发现函数的意义呢？我们再来讲一个比较细密的例子。
我们用一个可以测定它的变量的函数来做例，就可以发现它的数学的意义。在锅里热着一锅水，放一只寒暑表在水里面，你注意去观察那寒暑表的水银柱。你守在锅子边，将看到那水银柱的高度一直是在变动的，经过的时间越长，它上升得越高。水银柱的高度，就是那水温的函数。这就是说，水银柱的高度是随着水量和水温而变化的。所以倘若测得了所供给的热量，又测得了水量，你就能够求出它们的函数——那水银柱的高来。
对于同量的水增加热量，或是同量的热减少水量，这时水银柱一定会上升得高些，这高度我们是有办法算出的。
由上面的例子看来，无论变数也好，函数也好，它们的值都是不断变动的。以后我们讲到的变数中，特别指出一个或几个来，叫它们是“独立变数”（或者，为了简便，就只叫它变数）。别的呢，就叫它们是“倚变数”，或是这些变数的函数。
对于变数的每一个数值，它的函数都有一个相应的数值。若是我们知道了变数的数值，就可以决定它的函数的相应的数值时，我们就称这个函数为“已知函数”。即如前面的例子，倘若我们知道了物理学上供给热量对水所起的变化的法则，那么，水银柱的高度就是一个已知函数。
我们再来举一个非常简单的例子，还是回到等速运动上去。有一个小孩子，每分钟可以爬五米远，他所爬的距离就是所爬时间的函数。假如他爬的时间用t来表示，那么他爬的距离便是t的函数。在初等代数上，你已经知道这个距离和时间的关系，可以用下面的式子来表示：
d=5t
若是仿照函数的表示法写出来，因为d是t的函数，所以又可以用F（t）来代表d，那就写成：
F（t）=5t
从这个式子中，我们若是知道了t的数值，它的函数F（t）的相应的数值也就可以求出来了。比如，这个在地上爬的小孩子就是你的小弟弟，他是从你家大门口一直爬出去的，恰好你家对面三十多米的地方有一条小河。你坐在家里，一个朋友从外面跑来说看见你的弟弟正在向小河的方向爬去。他从看见你的弟弟到和你说话正好三分钟。那么，你一点儿不用慌张，你的小弟弟一定还不会掉到河里。因为你既知道了t的数值是3，那么F（t）相应的数值便是5×3=15米，距那隔你家三十多米远的河还远着呢！
以下要讲到的函数，我们在这里来说明而且规定它的一个重要性质，就叫作函数的“连续性”。
在上面所举的函数的例子中，那函数都受着变数的连续的变化的支配，跟着从一个数值变到另一个数值，也是“连续的”。在两头的数值当中，它经过了那里面的所有中间数值。比如，水的温度连续地升高，水银柱的高也连续地从最初的高度，经过所有中间的高度，达到最后一步。
你试取两桶温度相差不多的水，例如，甲桶的水温是30℃，乙桶的是32℃，各放一只寒暑表在里面，水银柱的高前者是15厘米，后者是16厘米。这是很容易看出来的，对于2℃温度的差（这是变数），相应的水银柱的高（函数）的差是1厘米。设若你将乙桶的水凉到31。6℃，那么，这只寒暑表的水银柱的高是15。8厘米，而水银柱的高的差就变成0。8厘米了。
这件事情是很明白的：乙桶水从32℃降到31。6℃，中间所有的温度的差，相应的两只寒暑表的水银柱的高的差，是在1厘米和0。8厘米之间。
这话也可以反过来说，我们能够得到两只寒暑表的水银柱的高的差（也是随我们要怎样小都可以，比如是0。4厘米）相应到某个固定温度的差（比如0。8℃）。但是，如果无论我们怎样弄，永远不能使那两桶水的温差小于0。8℃，那么两只寒暑表的水银柱的高的差也就永远不会小于0。4厘米了。
最后，若是两桶水的温度相等，那么水银柱的高也一样。假设这温度是31℃，相应的水银柱的高便是15。5厘米。我们必须要把甲桶水加热到31℃，而把乙桶水凉到31℃，这时两只寒暑表的水银柱一个是上升，一个却是下降，结果都到了15。5厘米的高度。
推到一般的情形去，我们考察一个“连续”函数的时候，就可以证实下面的性质：当变数接近一个定值的时候，或者说得更好一点，“伸张到”一个定值的时候，那函数也“伸张”，经过一些中间值，“达到”一个相应的值，而且总是达到这个相同的值。不但这样，它要达到这个值，那变数也就必须达到它的相应的值。还有，当变数保持着一定的值时，函数也保持着那相应的一定的值。
这个说法，就是“连续函数”的精密的数学定义。由物理学的研究，我们证明了这个定义对于物理的函数是正相符合的。尤其是运动，它表明了连续函数的性质：运动所经过的空间，它是一个时间的函数，只有冲击和反击的现象是例外。再说回去，我们由实测不能得到的运动的连续，我们的直觉却有力量使我们感受到它。多么光荣呀，我们的直觉能结出这般丰盛的果实！