二怎样具体地表出数量以及两个数量间的关系（第1页）

二、怎样具体地表出数量以及两个数量间的关系

学习一种东西，首先要端正学习态度。现在一般人学习，只是用耳朵听先生讲，把讲的牢牢记住。用眼睛看先生写，用手照抄下来，也牢牢记住。这正如拿着口袋到米店去买米，付了钱，让别人将米倒在口袋里，自己背回家就完事大吉一样。把一口袋米放在家里，肚子就不会饿了吗？买米的目的，是为了把它做成饭，吃到肚里，将饭消化了，吸收生理上所需要的，将不需要的污秽排泄。所以饭得自己煮，自己吃，自己消化，养料得自己吸收，污秽得自己排。就算买的是饭，饭是别人喂到嘴里去的，但进嘴以后的一切工作只有靠自己了。学校的先生所能给予学生的只是生米和煮饭的方法，最多是饭，喂到嘴里的事，就要靠学生自己了。所以学习是要把先生所给的米变成饭，自己嚼，自己消化，自己吸收，自己排泄。教科书要成一本教科书，有必不可少的材料，先生给学生讲课也有少不来的话，正如米要成米有必不可少的成分一样，但对于学生不是全有用场，所以读书有些是用不到记的，正如吃饭有些要排出来一样。

上面说的是学习态度的基本——自己消化、吸收、排泄。怎样消化、吸收、排泄呢？学习和研究这两个词，大多数人都在乱用。读一篇小说，就是在研究文学，这是错的。不过学习和研究的态度应当一样。研究应当依照科学方法，学习也应当依照科学方法。所谓科学方法，就是从观察和实验收集材料，加以分析、综合整理。学习也应当如此。要明了“的”字的用法，必须先留心各式各样含有“的”字的句子，然后比较、分析……

算学，就初等范围内说，离不开数和量，而数和量都是抽象的，两条板凳和三支笔是具体的，“两条”“三支”以及“两”和“三”全是抽象的。抽象的，按理说是无法观察和实验的。然而为了学习，我们无妨开一个方便法门，将它具体化。昨天我四岁的小女儿跑来向我要五个铜板，我忽然想到测试她认识数量的能力，先只给她三个。她说只有三个，我便问她还差几个。于是她把左手的五指伸出来，右手将左手的中指、无名指和小指捏住，看了看，说差两个。这就是数量的具体表出的方便法门。这方便法门，不仅是小孩子学习算学的基础，也是人类建立全部算学的基础，我们所用的不是十进数吗？

用指头代替铜板，当然也可以用指头代替人、马、牛，然而指头只有十个，而且分属于两只手，所以第一步就由用两只手进化到用一只手，将指头屈伸着或作种种形象以表示数。不过数大了仍旧不便。好在人是吃饭的动物，这点聪明还有，于是进化到用笔涂点子来代替手指，到这一步自然能表出的数更多了。不过点子太多也难一目了然，而且在表示数和数的关系时更不便当。因为这样，有必要将它改良。

这是数量的具体表出的方便法门。

有了这方便法门，算学上的四个基本法则，都可以用画图来计算了。

（1）加法——这用不着说明，如图1，便是5＋3＝8。

图1

（2）减法——只要把减数反向画就行了，如图2，便是8－3＝5。

图2

（3）乘法——本来就是加法的简便方法，所以和加法的画法相似，只需所取被乘数的段数和乘数的相同。不过有小数时，需参照除法的画法才能将小数部分画出来。如图3，便是5×3＝15。

图3

（4）除法——这要用到几何画法中的等分线段的方法。如图4，便是15÷3＝5。

图4

图中表示除数的线是任意画的，画好以后，便从0起在上面取等长的任意三段01，12，23，再将3和15连起来，过1画一条线和它平行，这线正好通过5，5就是商数。图中的虚线210是为了看起来更清爽画的，实际上却没有必要。

懂得了四则运算的基础画法了吗？现在进一步再来看两个数的几种关系的具体表出法。

两个不同的数量，当然，若是同时画在一条线段上，是要弄得眉目不清的。假如这两个数量根本没有什么瓜葛，那就自立门户，各占一条路线好了。若是它们多少有些牵连，要同居分炊，怎样呢？正如学地理的时候，我们要明确地懂得一个城市在地球上什么地方，得知道它的经度和纬度一样。这两条线一是南北向，一是东西向，自不相同。但若将这城市所在的地方的经度画一张图，纬度又另画一张画，那还成什么体统呢？画地球是经、纬度并在一张，表示两个不同而有关连的数。现在正可借用这个办法，好在它不曾在内政部注册过，不许冒用。

用两条十字交叉的线，每条表示一个数量，那交点就算是共通的起点0，这样来源相同，趋向各别的法门，倒也是一件好玩的勾当。

（1）差一定的两个数量的表出法。

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