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九、积分学

数学的园地里，最有趣味的一件事，就是许多重要的高楼大厦，有一座向东，就一定有一座向西，有一座朝南，就有一座朝北。使游赏的人，走过去又可以走回来。而这些两两相对的亭台楼阁，里面的一切结构、陈设、点缀，都互相关连着，恰好珠联璧合，相得益彰。

不是吗？你会加就得会减，你会乘就得会除；你学了求公约数和最大公约数，你就得学求公倍数和最小公倍数；你知道怎样通分的原理，你就得懂得怎样约分；你知道乘方的方法还不够，必须要知道开方的方法才算完全。原来一反一正不只是做文章的大道理呢！加法、乘法……算它们是正的，那么，减法、除法……恰巧相应地就是它们的还原，所以便是反的。

假如微分法算是正的，有没有和它相反的方法呢？

朋友！一点儿不骗你，正有一个和它相反的方法，这就是积分法。倘使没有这样一个方法，那么我们知道了一种运动的法则，可以算出它在每一刹那间的速度，有人和我们开玩笑，说出一个速度来，要我们回答他这是一种什么运动，那不是糟了吗？他若再不客气点儿，还要我们替他算出在某一个时间中，那运动所经过的空间距离，我们怎样下台？

假如别人向你说，有一种运动的速度，每小时总是5里，要求它的运动法则，你自然会不假思索地回答他：

他若问你，八个钟头的时间，这运动的东西在空间经过了多长距离，你也可以轻轻巧巧地就说出是40里。

但是，这是一个极简单的等速运动的例子呀！碰到的若不是等速运动，怎么办呢？

倘使你碰到的是一个粗心马虎的阔少，你只要给他一个大致的回答，他就很高兴，那自然什么问题也没有。不是吗？咱们中国人是大方惯了的，算什么都四舍五入，又痛快又简单。你去过菜市场吗？你看那卖菜的虽是提着一杆秤在称，但那秤总不要它平，而且称完了，买的人觉得不满足，还可任意从篮子里抓一把来添上。在这样的场合，即使有人问你什么速度、什么运动，你可以很随便地回答他。其实呢，在日常生活中，本来用不到什么精密的计算，所以上面提出的问题，若为实际运用，只要有一个近似的解答就行了。

近似的解答并不难找，只要我们能够知道一种运动的平均速度就可以了。举一个例子，比如，我们知道一辆汽车，它的平均速度是每小时40公里，那么，5小时它“大约”行驶了200公里。

但是，我们知道了那汽车真实的速度，常常是变动的，又想要将它在一定的时间当中所走的路程计算得更精密些，就要知道许多相离很近的刹那间的速度——一串平均速度。

这样计算出来的结果，自然比前面用一小时做单位的平均速度来计算所得的要精确些。我们所取的一串平均速度，数目越多，互相隔开的时间间隔越短，所得的结果，自然也就越精确。但是，无论怎样，总不是真实的情形。

怎样解决这个问题呢？

一辆汽车在一条很直的路上行驶了一个小时，它每一刹那间的速度，我们也知道了。那么，它在一个小时内所经过的路程，究竟是怎样的呢？

第一个求近似值的方法：可以将一个小时的时间分成每5分钟一个间隔，在这十二个间隔当中，每一个间隔，我们都选一个在一刹那间的真速度。比如说在第一个间隔里，每分钟v1米是它在某一刹那间的真实速度；在第二个间隔里，我们选v2；第三个间隔里，选v3……这样一直到v12。

这辆汽车在第一个5分钟时间内所经过的路程，和5v1米相近；在第二个5分钟里所经过的路程，和5v2米相近，以下也可以照推。

它一个小时所通过的距离，就近于经过这十二个时间间隔所走的距离的和，就是说：

这个结果，也许恰好就是正确的，但对我们来说也没有用，因为它是不是正确的，我们没有办法去决定。一般地说来，它总是和真实的相差不少。

实际上，上面的方法虽已将时间分成了十二个间隔，但在每5分钟这一段里面，还是用一个速度来作平均速度。虽则这个速度在某一刹那是真实的，但它和平均速度比较起来，也许太大了或是太小了。跟着，我们所算出来的那段路也说不定会太大或太小。所以，这个算法要得出确切的结果，差得还远呢！

不过，照这个样子，我们还可以做得更精细些，无妨将5分钟一段的时间间隔分得更小些，比如说，一分钟一段。那么所得出来的结果，即便一样地不可靠，相差的程度总会小些。就照这样做下去，时间的间隔越分越小，我们用来做代表的速度，也就更近于那段时间中的平均速度。我们所得的结吴，跟着便更近于真实的距离。

除了这个方法，还有第二个求近似值的方法：假如在那一个小时的时间内，每分钟选出的一刹那间的速度是v1、v2、v3……v60，那么所经过的距离d便是：