九韩信点兵（第4页）

（二）求乘率所以乘率是1。所以乘率是6。

所以乘率是1。所以乘率是4。（三）求用数

2的……315×1=315，5的……126×1=126，7的……90×6=540，9的……70×4=280。（四）求本数

315×1+126×2+540×3+280×4=315+252+1620+1120=33073307÷630=5……157

所以原数是一百五十七。

再由《求一术通解》上取一个较复杂的例子，就更可以看明白这类题的算法了。

“今有数不知总：以五累减之，无剩；以七百一十五累减之，剩一十；以二百四十七累减之，剩一百四十；以三百九十一累减之，剩二百四十五；以一百八十七累减之，剩一百零九，求总数是多少？”

“答：10020。”（一）求衍数

（二）求乘率

所以乘率是18。

所以乘率是139。

所以乘率是43。

（三）求用数

715的……96577×18=1738386

247的……21505×139=2989195

391的……13585×43=584155

（四）求总数

1738386×10+2989195×140+584155×245=17383860+418487300+143117974=578989135

578989135÷5311735=109……10020

这个计算所要注意的就是“废位”，第一行的析母5，第二行也有，第二行已用了（数旁记黑点就是表示采用的意思），所以第一行可废去。第五行的11和17，一个已用在第二行，一个已用在第四行，所以这一行也废去。前面已经说过两个泛母若有相同的质因数而且所含的个数相同，无论哪个泛母采用都可以，因此上面求衍数的方法只是其中一种。在《求一术通解》里，就附有左列每种采用法的表，比较起来这一种实在是最简单的了。（表中的○表示废位。）

由这几个例子，可以看出“韩信点兵”不限于三三、五五、七七地数。在中国的旧数学上，《大衍求一术》还有不少应用，不过在这篇短文里却讲不到了。

到了这一步，我们可以问：“‘韩信点兵’这类问题在西洋数学中怎样解决呢？”

要回答这个问题，你先要记起代数中联立方程式的解法来。不，首先要记起一般联立方程式所应具备的必要条件。那是这样的，方程式的个数应当和它们所含未知数的个数相等。所以二元的要有两个方程式，三元的要有三个，倘使方程式的个数比它们所含未知数的个数少，那就不能得出一定的解答，因此我们称它为无定方程式（Iionsofasystemofequation）。

两个未知数而只有一个方程式，例如，

5x+10y=20．

我们若将y当作已知数看，依照解方程式的顺序来解便可，而且也只能得出下面的式子：

x=4-2y．

在这个式子当中任意用一个数去代y，x都有一个相应的数值，如：

y的数值既然可以任意定，所以这方程式的根便是无定的。

又三个未知数，只有两个方程式，比如：

依照解联立方程式的法则，从这两个方程式中可以随意先消去一个未知数。若要消去z，就用3去乘（2），再和（1）相加，便得：

7x-14y=14

再移含有y的项到右边，并且全体用7去除，就得：

x=2+y

照前例同样的理由，这方程式中y的值可以任意选用，所以是无定的，而x的值也就无定了，x和y的值都不一定，z的值跟着更是无定，如：