七八仙过海（第5页）

5×4×3×2×1=120

前面是从1起连续的整数相乘一直乘到4，这里是从1起乘到5。假如有六个位置和六个钱，同样我们很容易知道是从1起将连续的整数相乘乘到6为止，就是：

6×5×4×3×2×1=720

譬如有八个人坐在一张八仙桌上吃饭，那么他们的坐法便有40320种，因为：

8×7×6×5×4×3×2×1=40320

你家请客常常碰到客人推让座位吗？真叫他们推来推去，要让完这40320种排法，从天亮到天黑也让不完呢。

一般的法则，假设位置是n个，钱也是n个，它们的排法便是：

n×（n_1）×（n_2）……×5×4×3×2×1

这样写起来太不方便了，不是吗？在数学上，对于这种从1起到n为止的n个连续整数相乘的把戏，给它起一个名字叫“n的阶乘”，又用一个符号来代表它，就是n！，用式子写出来便是：

n的阶乘=n！=n×（n_1）×（n_2）……×5×4×3×2×1所以8的阶乘=8！=8×7×6×5×4×3×2×1=40320

6的阶乘=6！=6×5×4×3×2×1=720

5的阶乘=5！=5×4×3×2×1=120

4的阶乘=4！=4×3×2×1=24

3的阶乘=3！=3×2×1=6

2的阶乘=2！=2×1=2

1的阶乘=1！=1

有了这个新的名词和新的符号，说起来就便当了！“n个东西全体不重复的排列就等于n的阶乘n！。”

但在平常我们排列东西的时候，往往遇见位置少而东西多的情形。举个例说，譬如你有一位朋友，他运道来了，居然奉国民政府的命令去当什么县的县长。这时你跑去向他贺喜，这自然是值得贺的，不是吗？已升官就可发财了！但是当你看到他时，一眼就可以看出来，他的脸孔上直一条、横一条的喜纹当中也夹着正一条、歪一条的愁纹。你若问他愁什么，他定会告诉你，一个衙门里不过三个科长、六个科员、两个书记，荐人来的便签倒有三四十张，这实在难于安排。

真的，朋友，莫怪你的朋友难于安排，他想不得罪人简直不行！就算他只接到三十张荐人的便签，就算他的衙门里从科长数到洗马桶的总共要用三十个人，但是人全是两道眉毛横在两只眼睛上的，哪个会看得见自己的眉毛的粗细，哪个不想当第一科科长！倘使你的朋友请你替他安排，你左排也不是，右排仍然不是，你也只得在脸上挂起愁纹来了。三十个人排来排去有多少？我没有这样的闲工夫去算，你只要想，单是八的阶乘就已有40320了，那三十的阶乘将是多么大的一个数！

笔一滑，又说了一段空话，转到正文吧。

譬如你那朋友接到的便签当中只有十张是要当科长的，科长的位置总共是三个，有多少种排法呢？这就归到第二种的顺列法。

第二，我们来讲几个东西部分的、不重复的顺列法。因为粥少僧多，所以只有一部分人的便签有效。因为国民政府的命令兼差不兼薪，没有哪个人这般傻气，吃一个人的饭肯做两个人的事，所以排起来不重复。

从十张便签中抽出三个来，分担第一、第二、第三科的科长，这有多少法子呢？

朋友，你对于第一个法子若是真明白了，这一个是很容易的。

第一科长没有定人时，十张便签都有同样的希望，所以这个位置的排法是10。

第一科长已被什么人得去了，只剩九个人来抢第二科的科长，所以第二个位置的排法是9。同一个道理第三个位置的排法是8，照第一种方法推来，这三个位置的排法总共应当是：

10×9×8=720

若是你的朋友接到的便签中间，想当科长的是十一个或九个，那么其排法就应当是：

11×10×9=990

或9×8×7=504

若是他的衙门里还有一个额外科长，总共有四个位置，那么他的安排应当是：

10×9×8×7=5040

11×10×9×8=7920

或9×8×7×6=3024

我们仍然用n代表东西的数目（在数学上算数的时候，朋友，你不必生气，人也只是一种东西，倒无关于他有没有当科长的福分），不过位置的数目既然和东西的不同，所以得另用一个字母来代表，譬如用m，我们的题目变成了这样：“在n个东西里面取出m个来的排法。”

照前面的推论法，m个位置，n个东西，第一位的排法是n；第二个位置的排法，东西已少了一个，所以只有n-1；第三个位置，东西又少了一个，所以只有n-2个排法……照推下去，直到第m个位置，它的前面有m-1个位置，而每一个位置都拉了一个人去，所以被拉去的共有m-1个人，就总人数说，这时已少了m-1个，只剩n-（m-1）个了，所以这个位置的排法是n-（m-1）。

这样一来，总共的排法便是：

比如n是11，m是4，代进去就得：