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十九、韩信点兵

昨天马先生结束了四则问题以后，叫我们复习关于质数、最大公约数和最小公倍数的问题。晚风习习，我取了一本《开明算术教本》上册，阅读关于这些事项的第七章。从前学习它的时候，是否感到困难，印象已模糊了。现在要说“一点儿困难没有”，我不敢这样自信。不过，像从前遇见四则问题那样摸不着头脑，确实没有。也许其中的难点，我不曾发觉吧！怀着这样的心情，今天，到课堂去听马先生的讲演。

“我叫你们复习的，都复习过了吗？”马先生一走上讲台就问。

“复习过了！”两三个人齐声回答。

“那么，有什么问题？”

每个人都是瞪大双眼，望着马先生，没有一个问题提出来。马先生在这静默中，看了全体一遍：“学算学的人，大半在这一部分不会感到什么困难的，你们大概也不会有什么问题了。”

我不曾发觉什么困难，照这样说，自然是由于这部分问题比较容易的缘故。心里这么一想，就期待着马先生的下文。

“既然大家都没有问题，我且提出一个来问你们：这部分问题，我们也用画图来处理它吗？”

“那似乎可以不必了！”周学敏回答。

“似乎？可以就可以，不必就不必，何必‘似乎’！”马先生笑着说。

“不必！”周学敏斩钉截铁地说。

“问题不在‘必’和‘不必’。既然有了这样一种法门，正可拿它来试试，看变得出什么花招来，不是也很有趣吗？”说完，马先生停了一停，再问，“这一部分所处理的材料是些什么？”

当然，这是谁也答得上来的，大家抢着说：“找质数。”

“分质因数。”

“求最大公约数和最小公倍数。”

“归根结底，不过是判定质数和计算倍数与约数——这只是一种关系的两面。12是6、4、3、2的倍数，反过来看，6、4、3、2便是12的约数了。”马先生这样结束了大家的话，而掉转话头：“闲言少叙，言归正传。你们将横线每一大段当1表示倍数，纵线每一小段当1表示数目，画表示2的倍数和3的倍数的两条线。”

这只是“定倍数”的问题，已没有一个人不会画了。马先生在黑板上也画了一个——图75。

图75

“从这图上，可以看出些什么来？”马先生问。

“2的倍数是2、4、6、8、10、12。”我答。

“3的倍数是3、6、9、12、15、18。”周学敏说。

“还有呢？”

“5、7、11、13、17都是质数。”王有道答道。

“怎么看出来的？”

这几个数都是质数，我本是知道的，但从图上怎么看出来的，我却茫然了。马先生这么一追问，真是“实获我心”了。

“OA和OB两条线都没有经过它们，所以它们既不是2的倍数，也不是3的倍数……”说到这里，王有道突然停住了。

“怎样？”马先生问道。

“它们总是质数呀！”王有道很不自然地说。这一来大家都已发现，这里面一定有了漏洞，王有道大概已明白了。不期然而然地，大家一齐笑了起来。笑，我也是跟着笑的，不过我并未发现这漏洞。

“这没有什么可笑的。”马先生很郑重地说，“王有道，你回答的时候也有点儿迟疑了，为什么呢？”

“由图上看来，它们都不是2和3的倍数，而且我知道它们都是质数，所以我那样说。但突然想到，25既不是2和3的倍数，也不是质数，便疑惑起来了。”王有道这么一解释，我才恍然大悟，漏洞原来在这里。

马先生露出很满意的神气，接着说：“其实这个判定法，本是对的，不过欠精密一点儿，你是上了图的当。假如图还可以画得详细些，你就不会这样说了。”

马先生叫我们另画一个较详细的图——图76——将表示2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47各倍数的线都画出来。（这里的图，右边截去了一部分。）不用说，这些数都是质数。由图上，50以内的合数当然可以很清楚地看出来。不过，我有点儿怀疑。——马先生原来是要我们从图上找质数，既然把表示质数的倍数的线都画了出来，还用得找什么质数呢？

图76

马先生还叫我们画一条表示6的倍数的线，OP。他说：“由这张图看，当然再不会说，不是2和3的倍数的，便是质数了。你们再用表示6的倍数的一条线OP作标准，仔细看一看。”