第15讲 在获得信息之后概率的表示方法 条件概率的基本性质（第3页）

这被称为“贝叶斯公式”。

进行具体计算，则为：

式子（7）可以按照以下思路来理解：左边表示从“黑球”的结果追溯到“B壶”这一原因的概率，从直观上不是很容易理解。而右边的p（A）和p（B）均为每一类别的先验概率，p（黑｜A）和p（黑｜B）是由原因推导出的结果的概率，这一点已经在设定中予以说明。换言之，式子（7）是通过已知的概率（右边），推导出直观上看不出的概率（左边）的计算方式。

乍一看式子（7），可能会觉得计算过程很复杂，令人迷惑。不过，只要在面积图中填入前面讲过的概率符号，就能明白“现在做的，只是把之前面积图的方法直接转换为计算公式罢了”。

图表15-4贝叶斯逆概率的公式

下面请观察图表15-4。迄今为止，我们采用的计算方式都是在获得“取出的球为黑球”这一信息之后，再得出以下比例关系：

（A的后验概率）：（B的后验概率）

＝（A＆黑球的面积）：（B＆黑球的面积）

用条件概率来描述，则可以得到如下比例公式：

p（A）p（黑｜A）：p（B）p（黑｜B）…（8）

式子（8）中，左右两边的计算，与通过乘法计算长方形的长宽而得出的概率是一样的。然后，在满足标准化条件的情况下进行变形（左右数值之和相除），得到：

由此又可以得到以下公式：

最后的式子（9），与（7）是完全相同的。

下面，我们通过用来说明条件概率的面积比例的思路，再次进行探讨。

现在，我们已经获得了“取出的球为黑球”这一信息，那么，正如15-2中的解说，B的条件概率即为：在表示“A＆黑球”的长方形与表示“B＆黑球”的长方形的总和（表示事件“黑球”的情况）中，表示“B＆黑球”的长方形所占面积的比例这一数值。而在式子（8）中，左侧为表示“A＆黑球”的长方形的面积，右侧为表示“B＆黑球”的长方形的面积。因此，用右侧来除以左右之和，其结果，与“在‘取出的球为黑球’的情况下，计算表示‘B＆黑球’的长方形面积所占比例”的结果是相同的。这也意味着，最后的计算与条件概率p（B|黑）的面积所代表的意义相一致。

最后需要说明的一点重要内容：采用贝叶斯推理方法计算后验概率时，无须考虑式子（7）中的分母。要点是，因为有了比例公式（8），那么（7）和（9）的分母，只是用来恢复标准化条件罢了，可以忽略。毕竟，关键点在于比例关系。因此我们只需记住比例公式（8）即可。

第15讲·小结

1．条件概率是指，在获得信息之后，基本事件减少的情况下，赋予的比例关系。

2．在获得“事件B”这一信息后，事件A的条件概率p（A|B）可定义为：p（A|B）＝p（A和B的重叠部分）÷p（B）

3．在贝叶斯推理中，使用条件概率公式②时有两种方法。

4．第1种使用方法：求出类别＆信息的概率。即，p（类别＆信息）＝p（类别）×p（信息|类别）

5．第2种使用方法：求出后验概率。已知数据信息，通过上面的方法来计算p（类别＆信息）的比例关系，并使之满足标准化条件。

练习题

答案参见此处

下面，以癌症检查为例，来练习条件概率的表示方法。

基本事件分别为：“癌症”、“健康”、“阳性”、“阴性”。选取合适的基本事件，填入下面的括号中。

p（癌症＆阳性）＝p（癌症）×p（|）…（1）

p（癌症＆阳性）＝p（阳性）×p（|）…（2）

p（健康＆阳性）＝p（健康）×p（|）…（3）

p（健康＆阳性）＝p（阳性）×p（|）…（4）

此时，从（1）和（3）中，可以得出：

p（癌症＆阳性）：p（健康＆阳性）

＝p（癌症）×p（|）：p（健康）×p（|）…（5）

从（2）和（4）中，可以得出：

p（癌症＆阳性）：p（健康＆阳性）

＝p（|）：p（|）…（6）

从（5）和（6）中，可以得出：

p（|）：p（|）

＝p（癌症）×p（|）：p（健康）×p（|）

左边为后验概率之比，右边为通过先验概率和条件概率中算出来的比值。