八年龄的关系（第2页）

大家回答了马先生以后，他说：“这就是说，一条线被平行线分成若干段，这些段数的倍数关系，无论这条线怎样画法，都是相同的。所以4P对于4Q，和MA对于MC，也就和3A对于32的倍数关系是一样的。”

这我就明白了。

“假如，题上问的是六倍，怎样画法？”马先生问。

“在AK上取相等的六段，连C5，画6M平行于C5。”王有道回答。这，现在我也明白了，因为OY到AB的距离，无论是OY到CD的距离的多少倍，但OY到CD，总是这距离的一倍，因而总是将AK上的倒数第二点和C相连，而过末一点作线和它平行。

至于这题的算法，马先生教我们由图上加以探究，我们看出CA是父子年岁的差，和QP，FE，HG全一样。而当4P是4Q的三倍时，MA也是MC的三倍，并且在这地方4Q，MC都是所求的若干年后的子年。因此得下面的算法：

讨论完毕以后，马先生一句话不说，将图37画了出来，指定周学敏去解释。

我倒有点幸灾乐祸的心情，因了他学过我的缘故，但事后一想，这实在无聊。他的算学虽不及王有道，这次却讲得很有条理，而且真是简单明白。下面的一段，就是周学敏讲的，我一字不改地记在这里以表我的忏悔！

（别解）：

“父年三十五岁，子年九岁，他们相差二十六岁，就是这个人二十六岁时生这儿子。所以他二十六岁时，他的儿子是零岁，以后，每过一年，他大一岁，他的儿子也大一岁。依差一定的表示法，得AB线。题上要求的是父年三倍于子年的时间，依倍数一定的表示法得OC线，两线相交于D。依交叉原理，D点所示的，便是合于题上的条件时，父子各人的年岁：父年三十九，子年十三。从三十五到三十九和从九到十三都是四，就是四年后父年正好是子年的三倍。”

对于周学敏的解说，马先生也非常满意，他评价了一句：“不错！”就写出例二。

例二：现时，父年三十六岁，子年十八岁，几年后父年是子年的三倍？

这题，看去自然和例一完全相同。马先生让我们各自依样葫芦地画图。但一动手，结果便碰了钉子，过M所画的和CD平行的线与OY却交在下面9的地方。这是什么一回事呢？

马先生始终让我们各自去做，一声也不响。后来我从这9的地方横看到AB，再纵看上去，得父年二十七岁；而看到CD，再纵看上去，得子年九岁，正好父年是子年的三倍。到此我才领悟过来，这在下面的9，表示的是九年以前。而这个例题完全是马先生有意弄出来的。这么一来，我还知道几年前或几年后，算法全是一样，只是减的时候，被减数和减数不同罢了。本题的计算应当是：

我试用别解法做，得图39，AB和OC的交点D表明父年二十七岁时，子年九岁，正是三倍，而从三十六回到二十七恰好九年，所以本题的解答是九年以前。

例三：现时，父年三十二岁，一子年六岁，一女年四岁，几年后，父的年岁与子女二人年岁的和相等？

马先生问我们这个题和前两题不同之点，这是略一——我现在也敢说“略一”了，真是十二分欣幸！——思索就知道的，父的年岁每过一年只增加一岁，而子女年岁的和每过一年却增加两岁。所以从现在起，父的年岁用AB线表示，而子女二人年岁的和用CD表示。

AB和CD的交点E，纵看是五十四，横看是二十二。从现在起，二十二年后，父年五十四岁，子年二十八岁，女年二十六岁，相加也是五十四岁。

至于本题的算法，图上显示得很明白。CA表示现时父的年岁同子女俩的年岁的差，往后去，每过一年这差减少一岁，少到了零，便是所求的时候，所以：

这题有没有别解，马先生不曾说，我也没有想过，而是王有道将它补出来的：

AB线表示现在从父的年岁同着子女俩的年岁，以后一面逐年增加一岁，而另一面增加二岁，OC表示两面相等，即一倍的关系。这都容易想出。只有AB线的A不在最末一条横线上，这是王有道的巧思，我只好佩服了。据王有道说，他第一次也把A点画在三十二的地方，结果不符合。仔细一想，才知道错得十分可笑。原来那样画法，是表示父年三十二岁时，子女俩年岁的和是零。由此他因为想到子女俩的年岁的和是十，就想到A点应当在第五条横线上。虽是如此，我依然佩服！

例四：现时，祖父八十五岁，长孙十二岁，次孙三岁，几年后祖父的年岁是两孙的三倍。

这例子马先生是留给我们作的，照着王有道的补充前题的别解，我也就照着别解得出解它的图来了。因为祖父年八十五岁时，两孙共年十五岁，所以得A点。以后祖父加一岁，两孙共加两岁，所以得AB线。OC是表示定倍数的。两线的交点D，纵看得九十三，是祖父的年岁；横看得三十一，是两孙年岁的和。从八十五到九十三有八年，所以得知八年后祖年是两孙年的三倍。

本题的算法，我曾经从一本什么算学教科书上见到的：

[85-（12+3）×3]÷[2×3-1]=（85-45）÷5=8

它的解释是这样：就现时说，两孙共年（12+3）岁，它的三倍便是（12+3）×3，比祖父的年岁还少[85-（12+3）×3]，这差出来的岁数，就须由两孙每年比祖父所多加的岁数来填足。两孙每年共加两岁，就三倍计算，共增加2×3岁，减去祖父增加的一岁，就是每年多加（2×3-1）岁，由此便得上面的计算法。

这算法能否由图上得出来，以及本题照前几例的第一种方法是否可解，我们全没有去想，也不好意思去问马先生，因为这好似我们应当用点心自己回答的，只得留待将来了。