十积分学（第2页）

我们照数学上惯用的假设来说：现在我们想象再将时间的间隔继续分下去，一直到无限，那么，最后的时间间隔，便是一个无限小的量了，将我们以前已用过的符号来表示，就是?t。

我们不要再找什么很小的时间间隔中的任何速度了吧，我们还是将从前所讲过的速度的意义记起来。真是，我们能够将时间间隔无限地分下去，到无限小为止。在这一刹那的速度，依以前所说的，它便是那运动所经过的路程对于时间的导数。可见得，这速度和这无限小的时间的乘积，便是一刹那间，运动所经过的路程。自然这路程也是无限小的。但是将这样一个一个的无限小的路程加在一起，不就是一小时内真实的总共的路程了吗？不过，道理虽是这样一说就可以明白，实际要照普通的加法去加，那一点儿动不来手：不但因为相加的数每个都是无限小，还有这加在一起的无限小的数，它的数目，却是数不清的无限大。

1小时的真实的路程既可以有法子得到，只要将它重用起来，无论多少小时的真实的路程也可以得到了。一般地说，我们仍然设时间是t。

照上面看起来，对于每一个t的值，我们都可以得出距离d的值来，所以d便是t的函数，可以写成下面的样子：

d=f（t）

换过一句话来说，这就是表示那运动的法则。

归根下来，我们所要找寻的只是将一个导数还原转去的法子。从前是知道了一种运动法则，要求它的速度，现在却是由速度要反回去求它所属的运动法则。从前用过的由运动法则求速度的方法，叫作导数法，所以得出来的速度也叫导数。

现在我们所要找的和导数法正相反的方法便叫“积分法”，所以一种运动在一段时间内所经过的距离d，便是它的速度对于时间的“积分”。

由前面顺了看下来，你大概已经可以明白“积分”是什么意思了。为了使得我们的观念更清晰一些，用一般习用的名词来说，所谓“积分”就是：

“无限大的数目这般多的一些无限小的量的总和的极限。”

话虽只一句，“的”字太多了，恐怕反而有些眉目不清吧！那么，重来说一次，我们将许许多多的，简直是无法表明白的，一些无限小量，加在一起。但这是不能照平常的加法去加的，所以我们只好换一个法子，求这个总和的极限。这极限便是所谓“积分”。

这个一般的定义虽则我们也能够用到关于运动的问题上面去，但我们现在还能更一般地去研究它。我们只需把已说过的关于速度这种函数的一些话，重复一番就好了。

设若y是变数x的一个函数，照一般的写法：

y=f（x）

对于每一个x的值，y的相应值假如也知道了，那么，函数f（x）对于x的积分是什么东西呢？

因为积分法就是导数法的反方法，那么，要将一个函数f（x）积分，就是无异于说：要另外找一个函数，比如是F（x），而这个函数不是可以随便拿来搪塞的，必须F（x）的导数就恰好是函数f（x）。这正和我们知道了3和5要求8用加法，而知道了8同5要求3就用减法是一般情形，不是吗？在代数里面，我们对于减法精密地一般地来下定义，就得这样讲：“有a和b两个数，要找一个数出来，它和b相加就等于a，这种方法便是减法。”

前面已经说过的积分法，我们再来做个例子看。

我们先选好一段变数的间隔，比如，有了起点O，又有x的任意一个数值。我们就将O和x当中的间隔分成很小很小的小间隔，一直到可以用?x表示的一步，在每一个小小的间隔里，我们随便选一个x的值x1、x2、x3……

因为函数f（x）对于x的每一个值都有相应的值的，它相应于x1、x2、x3……的值我们可以用f（x1）、f（x2）、f（x3）……来表示，那么这总和就应当是：

f（x1）?x+f（x2）?x+f（x3）?x+……

在这个式子里面?x越小，那就是我们将Ox分的段数越多，所以它的项数跟着也就多起来，但是每项的数值却越来越小了。这样我们不是又可以得出另外一个不同的总和来了吗？假如继续不断地照样做下去，逐次新做出来的和总比它前一次的渐渐地来得精确些。到了极限，这个和就会等于我们所要找的F（x）。所以积分法，实在是要求一个总和。F（x）是f（x）的积分，掉过来f（x）就是F（x）的导数，由前面的微分的表示法：

dF（x）=f（x）dx（1）

若把一个S拉长了来写成“∫”这个样子，作为积分的符号，那么，F（x）和f（x）的关系又可以这样表示：

F（x）=∫f（x）dx（2）

第一、第二两个式子的意义虽然不相同，但所表示的两个函数的关系却是一样的，这恰好像说“赵阿狗是赵阿猫的爸爸”和“赵阿猫是赵阿狗的囝囝”一般。意味呢，全然两样，但“阿狗”“阿猫”都姓赵，而且“阿狗”是爸爸，“阿猫”是囝囝，这个关系，在两句话当中总是一样地包含着。

讲导数的时候，先用运动来做例子，后来再从数学上的运用去研究它。积分法，除了在知道速度时，去求一种运动的法则以外，还有别的用场没有呢？

[11]1里等于0。5千米。