六导数的几何表示法（第2页）

举一个顶简单的例子吧：设若那已知的函数是y=x，表示它的曲线是什么？

先随便选一个x的值，例如x=2，那么相应于它的y的值也是2，所以相应于这一对值的曲线上的一点，就是从x=2和y=2这两点画出的两条垂线的交点。同样地，由x=3、x=4……我们就得出y=3、y=4……并且得出一串相应的点。联合这些点，就是我们要找来表示我们的函数的曲线。

我想，在这点，倘若你要挑剔的话，你一定捉到一个漏洞了！不是吗？图上画出的明明是一条直线，为什么我们在前面却尽管很亲切地叫它是曲线呢？但是，朋友！一个人究竟只有这样大的本领，写说明的时候，那图的影儿还不曾有一点，哪就会知道它是一条直线呀！若是画出图来是一条直线，便返回去将说明改过，这叫你看去，好像我是“未卜先知”了，成什么话呢？

我们说是曲线的变成了直线，这只是特别的情形，说到特别，朋友！我告诉你，这回的例子，真是特别得很，它不但是直线，而且和水平线OH以及和垂直线OV所成的角还是相等的，恰好45度，就好像你把一页正方块的纸对角折出来的那条折痕一般。

原来是要讲切线的，话却越说越远了，现在回到本题上面来吧。为了确定切线的意义，先设想一条曲线C，在这曲线上取一点P，接着过P点引一条割线AB和曲线C又在P'点相碰着。

请你将P'点慢慢地在曲线上向着P点这边移近起来，你可以看出，当你移动P'点的时候，AB的位置跟着也起了变动，它绕着固定的P点，依着箭头所指的方向慢慢地转动。到了P'点和P点碰在一起的辰光，这条直线AB便不再割断曲线C，只和它在P相挨着了。换句话说，就是在这当儿，直线AB变成了曲线C的切线。

再用到我们的水平线OH和垂直线OV。

设若曲线C表示一个函数。我们若是能够算出切线AB和水平线OH所夹的角，或是说AB对于OH的斜率，以及P点在曲线C上的位置。那么，过P点我们就可以将AB画出了。

呵，了不起！这么一来，我们又碰到难题目了！

怎样可以决定AB对于OH的斜率呢？

朋友，不要慌！你去问造房子的木匠去！你去问他，怎样可决定一座楼梯对于地面的斜率。

你一时找不着木匠去问吧！那么，我告诉你一个法子，你自己去做去。

你拿一根长竹竿，到一堵矮墙前面去。比如那矮墙的高是2米，你将你的竹竿斜靠在墙上边，竹竿落地的这一头恰好距墙脚4米。

这回你已知道你的竹竿靠着墙的一点离地的高和落地的一点距墙脚的远，它们的比恰好是：

这个比值就决定了你的竹竿对于地面的斜率。假如，你将你的竹竿靠到墙上边的时候，落地的一头距墙脚2米，就是说恰和靠着墙的一点离地的高相等。那么它们俩的比便是：

你总已经看出来了，这一次你的竹竿对于地面的倾斜度比前一次的来得陡些。

总括起来，简单地说，要决定斜率，只需知道“高”和“远”的比。

快可以归到一个结论了，让我们先把所要用来解答这个切线问题的材料集拢起来吧。第一，作一条水平线OH和一条垂直线OV；第二，画出我们的曲线；第三，过定点P和另外一点P'画一条直线将曲线切断，就是说过P和P'画一条割线。

先不要忘了我们的曲线C是用一个下面的已知函数表示的：

y=f（x）

相应于P点的x和y的值就算是x和y，相应于P'点的x和y的值设它们是x'和y'。从P画一条水平线和从P'所画的垂直线相遇在B点。我们先来决定割线PP'对于水平线PB的斜率。

这个斜率，和我们刚才说过的一般，是用“高”P'B和“远”PB的比来表示的，所以我们得出下面的式子：

到了这一步我们很明白地知道，我们所要解决的问题是：

“用来表示斜率的比，它能不能由曲线的函数的帮助来计算呢？”

跟着，来计算P点的切线的斜率，只要在曲线上使P'和P接近起来就成了。

要解决的问题总算解决了。归结起来，用一般的话说，这解答的步骤是这样。

知道了一条曲线和表示它的一个函数，那曲线上的任一点的切线的倾斜度，我们就可以计算。所以，通过曲线上的一点，引一条直线，若是它的斜率和我们已经算出来的一样，那么，这条直线就是我们所要找的切线了！