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二、t分布

t分布（t-distribution）是统计分析中应用较多的一种随机变量函数的分布，是统计学者高赛特1908年在以笔名“Student”发表的一篇论文中推导的一种分布。因此，这种分布有时也叫学生氏分布（Student'sdistribution），这种分布是一种左右对称、峰态比较高狭，分布形状随样本容量n-1的变化而变化的一族分布。

t分布与σ无关而与n-1（自由度）有关，t分布的自由度用符号ν（小写希腊字母，读作nu）或df表示，一般为n-1，即样本容量减1。自由度（degreesoffreedom）是指任何变量中可以自由变化的数目，是t分布密度函数中的参数ν，它代表t分布中独立随机变量的数目，故曰自由度。

（一）t分布的特点

1。平均值为0。

2。以平均值0左右对称的分布，左侧t为负值，右侧t为正值。

3。变量取值在-∞～+∞之间。

4。当样本容量趋于∞时，t分布为正态分布，方差为1；当n-1＞30以上时，t分布接近正态分布，方差大于1，随n-1的增大而方差渐趋于1；当n-1＜30时，t分布与正态分布相差较大，随n-1减少，离散程度（方差）越大，分布图的中间变低但尾部变高，如图6-10：

图6-10t分布密度曲线图

（二）t分布表的使用

图6-11df=20时t分布的双侧概率

t分布表不同于正态分布表。附表2是常用的t分布表。t分布表由三方面的数值构成，即t值、自由度和显著性水平。表的左列为自由度，表的最上一行是不同自由度下t分布两尾端的概率，即p值。它是指某一t值时，t分布两尾部概率之和，即双侧界限。表的最下一行是单侧界限，即从t值以下t分布一侧尾部的概率值。双侧概率通常写作tα2，单侧概率写作tα。表内的数值是与不同的p值和df值相对应的t值，是根据t分布函数计算得到的，它随df及概率不同而变化。例如df=20，双侧概率为0。05时，t值为2。086，记为t0。052=2。086，意思是在t值小于-2。086以下的概率与t值大于2。086以上的概率之和为0。05，即两尾端的面积和与总面积之比率为0。05，见图6-11。上例的单侧概率就记为t0。025=2。086。同样的自由度若概率为0。01时，双侧概率为t0。012=2。845，单侧概率就记为t0。01=2。528。若自由度为30时，t0。012=2。750，虽然与自由度为20时相差很小，但说明t值是随自由度的变化而变化的。

粗略观察一下t表，发现在自由度确定的情况下，t值越大，p值就越小。通常使用这个表有两种情况：一种是已知自由度和概率值查t值，另一种是已知自由度和t值查相应的概率值。有时所查t值，不一定恰恰与某概率的t值相等，这时可取近似的概率值，或用直线内插法计算其精确值。

从t值表可查得自由度df=30的情况下，在0。05概率时，t=2。042，而正态表相同概率时Z=1。96，二者相差甚微，当df→∞时，t值表所列不同概率下的t值与正态表相应概率下的Z值完全相同。故可知当n→∞时，t分布的极限为正态分布。

（三）样本平均数的分布

1。总体分布为正态，方差（σ2）未知时，样本平均数的分布为t分布。

从一个正态分布的总体中，每次抽取容量为n的样本，计算平均值，由于总体方差未知，这时，样本平均数的分布不是正态分布而是t分布，t分布的形式随样本容量n的变化而变化。无限多个样本平均数的平均数就是总体平均数μ，而平均数分布的标准差（也称标准误）与样本本身的标准差有下述关系：

总体分布为正态而总体方差未知这种情况，在心理和教育的研究中出现较多，因而t分布的应用比较多。

2。当总体分布为非正态而其方差又未知时，若满足n＞30这一条件，样本平均数的分布近似为t分布。

据前述，当分布的自由度为30时，t分布与正态分布十分接近，故此时样本平均数的分布可视为渐近正态分布。这就是说，当n＞30时，应用正态表计算概率（近似值）或应用t分布表计算概率（较精确值）都可以。因为总体方差未知，其标准误的计算，可用样本方差作为总体方差的估计值。其公式如6-11式。

除样本平均数的分布在一定条件下遵从t分布外，σ未知时两样本平均数之差的分布、样本相关系数的分布、回归系数的分布在一定条件下也遵从t分布。