二积差相关系数的区间估计（第1页）

二、积差相关系数的区间估计

当总体相关系数未知时，可用样本的相关系数作为其无偏点估计值。而区间估计则有下述几种情况：

（一）当总体相关系数为零时

根据ρ=0时样本相关系数的分布为t分布便可计算其置信区间：

其中：tα2的自由度为n-2

应用公式7-10计算置信区间，必须满足ρ=0的条件。即样本相关系数r是根据从总体相关系数为零的总体中随机抽取的容量为n的样本计算得到的，由于抽样误差的存在，样本的相关系数在零上下取值，而r恰为零的机会实际上并不多。一般情况下我们无法知道总体相关系数是否为零，用公式7-12计算的置信区间包含0值在内，说明该样本可能是取自相关为零的总体，也说明所计算的置信区间是正确的（所依据的分布及标准误正确）。若计算的置信区间不包含0值在内，则说明该样本之总体相关不为零，也说明所计算的置信区间不正确（所依据的分布及标准误不对）。这种情况应该用Z分布。

（二）当总体相关系数不为零时

1。如果n＞500，可用下式计算置信区间：

其中：Zα2分别为Z0。052=1。96，Z0。012=2。58

因公式7-9及公式7-13的应用受限制较大，因此，这种方法一般应用很少。

2。利用费舍Z函数分布计算

费舍发现不论样本容量n之大小，亦不论总体相关ρ=0还是ρ≠0函数的分布近似正态分布。因此可用Z的置信区间，估计相关系数r的置信区间，具体步骤如下：

（1）将样本相关系数转换成Z函数，有两种方法可选用：

b。查附表8（r-Zr转换表），由样本r值查Zr值。

（2）计算Zr的置信区间

其中：Zr为费舍Z函数

Zα2为查正态表得到的Z分数，二者意义不同

（3）将Zr的置信区间转换成相关系数，亦有两种方法可选用：

b。查附表8（r-Zr转换表），将Zr转换成r值，因为Zr置信区间有上下两个值，故也可查得两个r值，这两个值便是总体相关系数的置信界限。

【例7-9】某校120名学生通过甲乙两测验，计算相关系数为r=0。24，问该两测验总体相关系数ρ的0。95置信区间。

解：假设其总体相关系数为ρ=0，

查t表，t0。052（118）=1。98（取df=120的近似值）

0。95的置信区间为：0。24-1。98×0。089＜ρ＜0。24+1。98×0。089

0。064＜ρ＜0。416

用t分布计算的0。95置信区间不包含0在内。说明该样本的总体相关系数不为零，因此解题时的假设，以及所用的标准误、所依据的t分布都不恰当，从而用此方法所求的置信区间也是不恰当的。正确的方法应该用Z函数方法。

查附表8，r=0。24时Zr=0。245

Z0。052=1。96，因此0。95置信区间为：

0。245-1。96×0。0925＜Zr＜0。245+1。96×0。0925

0。064＜Zr＜0。426

Zr=0。064，查附表8（Zr-r转换表）得r为0。064

Zr=0。426，查附表8（Zr-r转换表）得r为0。40（近似值）

答：总体相关系数ρ的置信区间为0。064～0。40之间。作此结论犯错误的概率为0。05，正确的概率为0。95。

可见，一般情况下对总体相关系数ρ的估计，用Z函数转换的方法是可取的，只是计算步骤稍麻烦一些。