一正态分布特征（第1页）

一、正态分布特征

（一）正态分布曲线函数

正态分布曲线函数又称密度函数，描述正态分布曲线的一般方程为：

式中：π是圆周率3。14159…；

e是自然对数的底2。71828…；

X为随机变量取值-∞＜X＜+∞；

μ为理论平均数；

σ2为理论方差；

y为概率密度，即正态分布的纵坐标。

正态分布图如图6-1所示：

图6-1正态分布图

（二）正态分布的特征

1。正态分布的形式是对称的（但对称的不一定是正态的），它的对称轴是经过平均数点的垂线。正态分布中，平均数、中数、众数三者相等，此点y值最大（0。3989）。左右不同间距的y值不同，各相当间距的面积相等，y值也相等。

2。正态分布的中央点（即平均数点）最高，然后逐渐向两侧下降，曲线的形式是先向内弯，然后向外弯，拐点位于正负1个标准差处，曲线两端向靠近基线处无限延伸，但终不能与基线相交。

3。正态曲线下的面积为1，由于它在平均数处左右对称，故过平均数点的垂线将正态曲线下的面积划分为相等的两部分，即各为0。50。正态曲线下各对应的横坐标（即标准差）处与平均数之间的面积可用积分公式计算：

因正态曲线下每一横坐标所对应的面积与总面积（总面积为1）之比其值等于该部分面积值，故正态曲线下的面积可视为概率，即值为每一横坐标值（加减一定标准差）的随机变量出现的概率。

4。正态分布是一族分布。它随随机变量的平均数、标准差的大小与单位不同而有不同的分布形态。如果平均数相同，标准差不同，这时标准差大的正态分布曲线形式低阔；如果标准差小，则正态曲线的形式高狭。见图6-2。所有正态分布都可以通过Z分数公式非常容易地转换成标准正态分布（standardnormaldistribution）。根据Z分数的性质（见第四章）可知，标准正态分布的μ=0，σ2=1。标准正态分布通常写作N（0，1）正态分布，它的平均数和标准差这两个参数分别为0与1。标准正态分布的密度函数可写作：

使用这个公式，其密度函数及面积（或概率）的计算可大大简化。

图6-2标准差不同的正态分布形式

目前，每次已不需进行繁复计算，只需查阅标准正态分布表就行。

5。正态分布中各差异量数值相互间有固定比率，如下所示。

表6-1正态分布中各种差异量数值的固定比率

6。在正态分布曲线下，标准差与概率（面积）有一定的数量关系。即在正态分布中，平均数上下各延伸一个标准差，包括总面积的68。26%，意即正态分布中，从-1s～+1s的全距包括68。26%的个案。正负1。96个标准差之间，包含总面积的95%；正负2。58个标准差之间，包含总面积的99%；在-3s～+3s之间，包含总面积的99。73%；取值在±4s之间的概率为0。9999，即包含总面积99。99%。图6-3是正态曲线下不同s单位界限内的面积比例。

图6-3正态曲线下不同s单位标准差面积比例