第78章 阅卷现场周教授的惊讶（第2页）

王老师在评分栏里写下分数。

周教授批到一份试卷时，手指停住了。

他盯著答题纸上的字跡，眼中闪过惊讶。

这份试卷的字跡很工整，笔画清晰有力。

前面的填空题和解答题，每一步推导都简洁明了，没有一个多余的步骤。

周教授快速扫过前面的题目，然后把目光落在最后一道大题上。

“设n为正整数，证明：存在无穷多个正整数k，使得k2+k+1能被n整除。”

答题纸上，第一行写著：

“证明：对n进行素因数分解，设n=p?^a?·p?^a?·…·p?^a?。”

周教授的双眼微微眯起。

这个开头很標准，说明考生理解了问题的本质。

他继续往下看。

“由中国剩余定理，只需证明对每个素数冪p^a，存在无穷多个k使得k2+k+1≡0（modp^a）。”

“进一步，只需证明对每个素数p，方程k2+k+1≡0（modp）有解。”

周教授的呼吸变得急促起来。

这个思路完全正確。

而且这个考生的表述非常简洁，没有任何废话，直击问题核心。

他继续往下看。

“当p=3时，k=1是方程的解。”

“当p≠3时，考虑判別式Δ=1-4=-3。”

“由二次剩余理论，方程有解若且唯若（-3p）=1。”

周教授的手指在试卷上轻轻颤抖。

这个考生不仅知道二次剩余，还能灵活运用勒让德符號。

这已经超出了高中竞赛的范畴，接近大学数论课程的水平。

他屏住呼吸，继续往下看。

“由二次互反律，（-3p）=（p3）·（-1）^（（p-1）2）。”

“当p≡1（mod3）时，（p3）=1，方程有解。”

“当p≡2（mod3）时……”

后面的推导过程严谨而完整，每一步都有理有据。

最后，答题纸上写著：

“综上所述，对任意正整数n，存在无穷多个正整数k，使得k2+k+1能被n整除。证毕。”

周教授放下试卷，摘下眼镜，用力揉了揉眼睛。

他以为自己看错了。

几秒钟后，他重新戴上眼镜，从头到尾又看了一遍。

没错。

这份试卷的证明过程完美无缺。

不仅思路清晰，而且运用了二次剩余、勒让德符號、二次互反律等高等数论知识。

这种水平，別说高中生，就算是大学数学系的学生，能做到这一步的也不多。