02 永无穷尽的素数（第2页）

2，3，5，7，13，23，43，83，163，317，631，1259，2503，4001。

对于每个不大于4000的n，取上表中不超过n的最大素数p，它的后面一个素数q即位于n〈q〈2n的范围中。这就保证了伯特兰-切比雪夫定理对于不大于4000的所有n都是成立的。例如，当n=100，p=83，那么q=163〈2×100。再使用一条巧妙的论证，这个论证涉及中央二项式系数（tralbi，将在第5章中介绍），还可以证明这个定理对大于4000的n也是正确的。

然而，我们不用走太远，就又会发现似曾相识却尚未解决的问题。举例来说，没有人知道是不是在两个连续的平方数中间总存在着一个素数。另一个观察是似乎存在足够的素数，从而可以保证每个大于2的偶数n总可以写成两个素数之和（哥德巴赫猜想，Goldbaje小于1018的情况，这个结论已经被直接验证。自然，我们可能会寄希望于沿着伯特兰-切比雪夫定理的思路找到一个证明。在大于某个给定的整数N时，基于对素数分布的已有知识，我们试图证明：对于任何偶数2n≥N，至少存在一对素数p，q，构成方程p＋q=2n的解。这个途径迄今还没能成功，不过这些思路产生了一些弱一点的结果。比如，1939年之后我们知道了：每个足够大的奇数是至多三个素数的和；每个偶数是不超过300000个素数的和。但要想完整地证明哥德巴赫猜想，似乎还有很长的路要走。

还有一个简单的结果，颇有一些上面介绍的这类论断的味道。它说的是：存在一个小于40亿的数n，有10种不同的方法，可以将它写成4个不同的立方数之和。已知1729=13＋123=93＋103是最小的能用两种方法写成两个立方数之和的数。不过，要想知道一个数n存在，我们并不一定非要确定它的大小。有时候可以明确地知道一个问题有解，而不是精准地找到一个解。

在这个例子中，我们先指出如果取4个不同的数，它们都不大于一个固定的数m，那么求它们的立方和，结果将小于4m3。同时，倘若m=1000，那么通过简单的计算就可以发现，选4个不同的数求其立方和，所有可能的情况已经超过了4m3×10种。由此可推出存在某个数n≤4m3=4000000000一定可以写成4个立方数的和，且至少有10种不同的写法。具体的计算涉及二项式系数（将在第5章中介绍），但并不困难。

数论中最著名的悬而未决的问题是黎曼猜想[3]（RiemannHypothesis），要阐述它必须用到复数（ber）——我们还没有介绍到。在这里提到它，是因为可以通过素因数分解的唯一性，重新表述这个问题的对象，使得新的提法中出现了一个包含所有素数的无穷乘积。借助这个表述我们发现，这个猜想表明，素数整体上的分布符合一条规律，那就是在大范围内，素性的出现是随机的。当然，某个数是否为素数不是一个随机事件。猜想里说的是，就很大的范围而言，素性是随机显现的，没有任何其他的规律或者结构可循。很多数论学家衷心希望，在其有生之年，这条有150年历史的猜想能有个定论。

素数是一个极其自然的数列，以至于我们会无法抗拒地去搜寻它们的规律。然而，不存在有关素数的真正有用的公式。也就是说，没有已知的规则能够生成所有的素数，甚至无法计算出一个完全由不同的素数组成的数列。存在一些形式简洁的公式，但几乎没有实用价值，要计算其中一些的值甚至需要素数相关的知识，因此本质上它们算是作弊。形如n2＋n＋41的表达式称作多项式（polynomial），这一个多项式能够产生极其大量的素数。例如，让n依次取值1，7和20，会分别得出素数43，107和461。确实，输入n=0到n=39，这一表达式的输出都是素数。但当取n=41时，这个多项式就令我们大失所望了，因为结果会有因数41。并且，对于n=40也失败了，因为

402＋40＋41=40（40＋1）＋41

=40×41＋41=（40＋1）41=412。

可以轻而易举地证明，一般而言没有某个多项式能给出一个素数的公式，即便允许表达式中存在高于2的幂次也不行。

的确有可能设计出仅用一两句话描述的素性检验的方法。但是，想要它们有用，还需要再快捷一点，至少在某些情况下得快于第1章中描述的直接验证方法。一个有名的结论叫作威尔逊定理（Wilson'stheorem）。它的表述使用到了一类叫作阶乘（factorials）的数，我们将在第5章里再次与它相见。数n!读作“n的阶乘”，就是所有不大于n的正整数的乘积。比如，5!=5×4×3×2×1=120。威尔逊定理便是一条极其简洁的陈述：当且仅当p是1＋（p-1）!的一个因数时，数p为素数。

证明这个结果不是很困难，实际上，其中的一个证明方向是很明显的：如果p是合数，比如p=ab，那么由于a和b都比p小，它们都会是（p-1）!的因数，因而p也是这个阶乘的一个因数。由此推出，当我们用1＋（p-1）!除以p时，会得到余数1。（a=b的情况需要多考虑一点点。）这很容易让人想起欧几里得对素数无穷性的证明。于是可知，如果p是1＋（p-1）!的一个因数，那么p必为素数。反过来的结论证明起来会难一点：如果p是素数，那么p是1＋（p-1）!的一个因数。但这才是定理真正令人惊讶的方向。读者朋友可以轻松地验证一些特殊情况，比如，素数5确实是1＋4!=1＋24=25的一个因数。

最后，基于定义，阶乘含有很多因数。我们可以利用这一点证明，不存在仅含素数的算术数列[4]（arithmetice），或者说仅含素数且形如a，a＋b，a＋2b，a＋3b，…的数列。因为可以证明相邻素数的间距可以任意地大，而前述数列相邻元素之差始终固定为b。想要理解这一点，考虑由n个连续整数构成的数列：

（n＋1）!＋2，（n＋1）!＋3，（n＋1）!＋4，…，

（n＋1）!＋n＋1。

这些数每个都是合数，因为第一个可以被2整除（两项都含有因数2），第二个可以被3整除，下一个可以被4整除，以此类推，直到最后一个——含有因数n＋1。因而对于任意给定的n，我们都有一串由n个连续整数组成的数列，其中的每一个数都不是素数。

在下一章中，我们将不再聚焦于具有最少因数的数（素数），而是转向拥有很多因数的数。不过我们会发现，它们和一些非常特殊的素数之间存在着令人惊讶的联系。

[1]　在中国一般称之为辗转相除法。

[2]　该猜想由伯特兰提出，后由切比雪夫证明，故称“伯特兰-切比雪夫定理”。约瑟夫·伯特兰（JosephBertrand），法国数学家。巴夫尼提·列波维奇·切比雪夫（PafnutyLvovichChebyshev），俄罗斯数学家。

[3]　格奥尔格·弗雷德里希·波恩哈德·黎曼（GeFriedrihardRiemann），德国数学家。

[4]　即等差数列。