三2×2设计的方差分析举例（第1页）

三、2×2设计的方差分析举例

2×2设计是最简单的多因素方差分析设计类型。下面以它为例介绍多因素方差分析的基本过程。

【例13-1】研究不同的教学方法（A）和不同的教学态度（B）对儿童识字量的作用。将20名被试随机分成四组（每组5人），每组接受一种实验处理（即两因素两水平的不同组合），结果见下表，表中A因素表示教学方法，其中a1为集中识字，a2为分散识字，B因素表示教学态度，其中b1为“严肃”，b2为“轻松”。每一单元格中的数据为识字量。试分析两种因素对识字量的作用。

解：这是2×2的完全随机设计

①平方和

a。先看成4组（a1b1，a1b2，a2b1，a2b2）每组5人，按单因素完全随机设计求SSt，SSb，SSw（∑∑X=477，∑∑X2=13309）

SSw=1932。55-1553。75=378。8

b。A因素的组间平方和SSA

所谓A因素的组间平方和是假定全体只根据A因素来分组，则分两组，每组10人。

同样B因素的组间平方和SSB为

这里可以看到：SSA+SSB=8。45+1264。05=1272。5与第一步中SSb=1553。75不符。

这是因为在SSb中不但有A，B两因素各自单独的作用（称为因素主效应），还包括两个因素间的交互作用（A×B）。

因此SSA×B=SSb-SSA-SSB=1553。75-8。45-1264。05=281。25②自由度

dft=20-1=19

dfb=4-1=3

dfw=19-3=16

而dfb与SSb一样也可分解为A，B，A×B三部分

因而dfA=1，dfB=1，dfA×B=1

③均方

因为本题要检验的是A，B，A×B的作用，对于它们的和（SSb）就不求均方了，只需分别求A，B，A×B及组内均方：

④F检验

分别用MSW去除MSA，MSB，MSA×B进行F检验

查附表4F0。05（1，16）=4。49

F0。01（1，16）=8。53

⑤方差分析表

表13-2方差分析表

从以上方差分析的结果可以看到，两因素之间交互作用非常显著，这表明集中识字与分散识字效果的不同是受不同教学态度影响的。同样，不同的教学态度对识字量的不同作用也受到识字教学方式的影响。

如果方差分析结果表明交互作用不显著，检验每个因素的主效应就很重要；若交互作用显著，则对每个因素主效应的检验，意义就不大了。在上面的例子中，B因素（教学态度）的作用显著，但是这个显著作用是与A因素（教学方式）有关系的，也就是说虽然A因素的主效应不显著，但它对B因素的影响或者说对交互作用的贡献是不容忽视的。交互作用显著，这本身就表明了两个因素对实验结果具有共同的重要性。

为了进一步讨论b1与b2在A因素的哪一个水平上差异显著（或者a1与a2在B因素的哪一个水平上差异显著），有时会常常继续进行检验，下面以例13-1来讨论这种检验方式。

而SSB+SSA×B=1264。05+281。25=1545。3）

在b1水平上A因素的平方和为：

在b2水平上A因素的平方和为：

SSA+SSA×B=8。45+281。25=289。7）

表13-3方差分析表

从结果来看，虽然A因素从整体上看不显著（表13-2），但它在b2水平上还是显著的，这表明不同的识字教学方式，在轻松的教学气氛中差异显著；而在严肃的情境中二者差异并不显著（F=4。06）。B因素在a1和a2两个水平中都显著，这表明不管用哪一种教学方法，不同的教学态度均有显著差异，其中在集中识字教学中两种教学态度使识字量的差异更显著（达到0。01水平）。

以上有关多因素方差分析的讨论，基于二因素完全独立样本的设计，即在两因素实验设计中，每一位被试只在某一特定组别中出现一次，每位被试之间无任何关连。2×2随机区组（完全）设计没有举例介绍，但是只要掌握了单因素设计中完全随机与随机区组设计的联系和区别，就应当会2×2区组设计（完全）方差分析。下表是一个随机区组设计的实验数据，有5个区组，每个区组都进行所有4种处理。先按单因素区组设计的方法求出区组平方和、组间平方和、误差平方和。然后与完全随机2×2设计的方差分析就基本相同了。

概括地说，如果一个多因素研究设计，当同一被试在某一因素上重复，在不同的组别中出现，或不同组别的被试之间在实验控制之外有其他的配对关联时，就要用相关样本（随机区组）多因素方差分析程序。其中，前者称为重复测量多因素方差分析，后者称为配对样本多因素方差分析。值得注意的是，在多因素设计中并非每一个因素都可能使用相关设计。当所有的因素均采用相关设计时，称为完全相关设计多因素方差分析，如果只是部分的因素采用相关设计，称为多因素混合设计（mixeddesignANOVA）。不论是重复测量，还是配对样本，由于存在相关样本，使得分数的变异来源除了自变量的效果（行列的组间差异）、交互效应（单元格中平均数的差异）及随机误差的效应（组内变异），还增加了一项由于重复或配对使用被试导致的个别差异产生的误差效应（受试者间），这样，多因素方差分析就变得更加复杂。

在一般的实证研究中，相关样本的实验研究多使用重复测量设计。但不管是重复测量还是配对样本，方差分析处理的原则与程序完全相同。由于这些设计中各因素彼此之间的作用错综复杂，因而多因素方差分析方法不仅多种多样，而且也相当复杂，如欲详细了解，读者可以参阅有关的高级统计书籍。